Метод сил

Основная проблема СНС – это наличие лишних связей, что наделяет эти системы особыми свойствами, рассмотренными выше. С точки зрения расчета, эти связи не позволяют решить задачу на основе уравнений равновесия и метода сечений. Необходимо, как известно, составить еще и n дополнительных уравнений на основе условий совместности деформаций (перемещений).

В методе сил за известное принимают реакции в лишних опорных связях и (или) внутренние усилия, соответствующие лишним внутренним связям. Эти неизвестные с целью упрощения разрешающих уравнений обозначают: , где n=R-U – степень статической неопределимости, равная числу избыточных связей. Для плоских рам эта величина определяется по формуле:

K- число замкнутых контуров;

U_ш – число простых шарнирных узлов, включая шарнирно-неподвижные опоры;

U_n – число подвижных узлов, включая шарниро-подвижные опоры (катки).

Из R внешних и внутренних связей необходимо выбрать n безусловно не необходимых и, отбросив их, получить основную систему, которая должна быть статически определимой и геометрически неизменяемой.

x₅

Рассмотрим пример.

x₅

x₄

II_k

I_k

Эквивалентная система

Основная система n₀=R-U=3-3=0

Заданная система n=3K-U_ш-2U_n=3*2-1-2*0=5.

M_A

x₂

x₃

А В A H_A x₁B

Заданная рама 5 раз статически неопределима: 3 раза внешне и 2 раза внутренне. Наметим лишние связи: 3 внешних связи в заделке В и 2 внутренние связи в шарнире С. Показанная основная система геометрически неизменяема, т.к. состоит из одного диска, присоединенного к земле тремя связями. При этом она и статически определима. В эквивалентной системе введены следующие обозначения: x₁=H_B; x₂=V_B; x₃=M_B; x₄=N_C; x₅=Q_C.

Так как мы заменили связи реакциями связей, то эквивалентная система полностью адекватна заданной системе как в статическом, так и в кинематическом смыслах (усилия и перемещения в заданной и эквивалентной системе одинаковы). Преимущество эквивалентной системы в том, что если силы x _i причислить к внешним нагрузкам, то эквивалентная система статически определима и поэтому легко решается.

Вычислим перемещение по направлению i отброшенной связи, испльзуя принцип суперпозиции.

Для эквивалентрой системы:

где - податливость основной системы, - перемещение вызванное заданной внешней нагрузкой в основной системе.

В заданной системе связи наложены, поэтому .

На основе адекватности получаем:

().

Раскрывая по всем i, получаем систему канонических уравнений метода сил для определения лишних неизвестных:

Каждое из уравнений имеет следующий физический смысл: перемещение в основной системе по направлению отброшенной связи, вызванное действием лишних неизвестных и внешней нагрузки, всегда равно нулю.

Податливости и перемещения в основной системе определяют по интегралу Мора, с использованием правила Верещагина и формул трапеции или Симпсона.

Например, чтобы определить податливость , рассмотренной нами необходимо построить и перемножить единичные эпюры .

C₁C₂

h h

5 единичное состояние О.С.

1 единичное состояние О.С.

Горизонтальное перемещение т. В, вызванное действием сил , равно нулю.

По теореме Максвелла о взаимности перемещений: , т.е. взаимное перемещение по вертикали сечений С₁ и С₂, вызванное действием силы , равно нулю.

Чтобы определить перемещение ∆₃_F, необходимо построить и перемножить эпюры от сил и .

1 1

s w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/></w:rPr><m:t>M</m:t></m:r></m:e></m:bar></m:e><m:sub><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/></w:rPr><m:t>F</m:t></m:r></m:sub></m:sSub></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

1 1 P

Грузовое состояние О.С.

3 единичное состояние О.С.

1 1

Решая систему канонических уравнений, находят лишние неизвестные x_i. Окончательную эпюру изгибающих моментов строят, используя принцип суперпозиции.

Для проверки правильности эпюры М используют статическую и кинематическую проверки. Статическая заключается в проверке равновесия всех узлов рамы, выделенных из конструкции и находящихся под действием изгибающих моментов в сходящихся стержнях и внешних моментов, приложенных в узлах. Например, для эпюры M_F получаем для узла D:

D - узел D в равновесии.

Кинематическая проверка заключается в отсутствии суммарных перемещений в заданной системе по направлению отбрасываемых связей:

т.е. необходимо перемножить каждую из единичных эпюр на окончательную эпюру М. Если ноль не получается, то допущена как минимум одна ошибка в расчетах (при первом расчете таких ошибок несколько). Для того, чтобы избежать неопределенности в нахождении ошибки, разработана система пошаговых промежуточных проверок.

Эпюра поперечных сил Q для простых рам строится методом сечений. Для сходных рам эпюру Q строят путем вырезания отдельных стержней рамы с последующим рассмотрением их равновесия под действием внешних нагрузок и внутренних усилий по концам стержней. Так как нагрузки известны, изгибающие моменты можно принять с окончательной эпюры М, а продольные силы в составлении уравнений равновесия не участвуют, то можно вычислить поперечные силы по концам стержней.

Рассмотрим стержень ij:

y P q M

N_ij

M_ij i j M_ij

Q_ijQ_ij

Эпюру продольных сил N для простой рамы можно построить методом сечений. Для схожей рамы эпюру N строят путем рассмотрения равновесия вырезанных узлов, находящихся под действием активных нагрузок поперечных сил, взятых с эпюры Q, и продольных сил. Необходимо последовательно рассматривать узлы, в которых неизвестными являются не более двух продольных сил. Например, для узла k получаем:

P₁N_kj j

P₂K Q_kj

Q_ki

N_ki

t wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="24"/><w:sz-cs w:val="24"/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>1</m:t></m:r></m:sub></m:sSub><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="24"/><w:sz-cs w:val="24"/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>.</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

Для статической проверки всей рамы в целом необходимо приложить все опорные реакции и составить три уравнения равновесия, которые должны тождественно выполняться ():