2015-04-20
1306
Пусть на плоскости xOy задана гладкая незамкнутая кривая L с началом в точке A и концом в точке B, не имеющая самопересечений. Допустим, что на этой кривой определена непрерывная функция 
Разобьем указанную кривую L произвольным образом на элементарные дуги 
длины которых будем считать соответственно равными 
На каждой из элементарных дуг 
выберем произвольную точку 
Обозначим через 
и составим интегральную сумму
Устремим так, чтобы
Если существует предел интегральных сумм, который не зависит ни от способа разбиения кривой L на части, ни от выбора точек 
то этот предел называется криволинейным интегралом 1-го рода от функции f (x; y) вдоль кривой L:
dl называют дифференциалом длины дуги, а саму кривую L – линией интегрирования. При этом говорят, что функция f (x; y) интегрируема по кривой L.
Если L – гладкая кривая в трехмерном пространстве без самопересечений, а f (x; y; z) – непрерывная функция в точках этой кривой, то криволинейный интеграл 1-го рода по этой кривой определяется равенством
в случае существования предела и при аналогичных плоской кривой условиях.
Если кривая L представляет собой замкнутый контур (т. е. начало кривой и ее конец совпадают), используют специальное обозначение: 
Достаточное условие интегрируемости функции: если функция определена и непрерывна в точках гладкой, не имеющей самопересечений, кривой, то она интегрируема по этой кривой.
Если функции f (x; y), f 1(x; y) и f 2(x; y) интегрируемы по гладкой кривой L, то справедливы следующие свойства:
1) линейность:
где 
2) аддитивность: если гладкая или кусочно-гладкая кривая L состоит из конечного числа гладких дуг 
то
3) независимость от направления пути интегрирования: если кривая L соединяет точки A и B, то 
4) оценка модуля интеграла:
