Применение

При функция неотрицательна и убывает на промежутке . Интеграл сходится при и расходится при . Поэтому ряд сходится при и расходится при .
При ряд расходится, так как в этом случае

Итак, ряд

ü сходится при и

ü расходится при .

Сходимость знакопеременных рядов

Определение. Ряды типа (1). называется знакопеременными (знакочередующимися).

Теорема Лейбница. Если в знакопеременном ряде (1), монотонно убывающим образом стремится к 0, т.е. , то ряд (1) сходится.

Доказательство. Рассмотрим частичные суммы данного ряда: .

Изучим и рассмотрим каждое из этих слагаемых , , ,

Покажем, что монотонно . Сравним , т.к.

, т.е.

монотонно возрастающая последовательность.

т.е.

Отсюда, - монотонно последовательность и . Следовательно, сходится к некоторому числу при . Рассмотрим нечетную последовательность

. Так как , а сходится и сходится к числу , т.к. , , тогда последовательность сходится и сходится к элементу , , что и т.д.

Если изучить ряд в частности при получаем , и который

. Получаем сходится если , то и получаем при сходится.

11. Сходимость произвольных рядов

Пусть имеем ряд (1), где - произвольные действительные числа. Параллельно с ним рассмотрим ряд (2).

Определение. Ряд (1) абсолютно сходится, если ряд (2) сходится. Сходимость ряда (2) проверить легко, т.к. это уже ряд с положительными членами, а это уже было рассмотрено.

Например: , т.к. при сходится, то при абсолютно сходится. А если , то будет сходиться, но не абсолютно.

Теорема. Если ряд абсолютно сходится, то данный ряд сходится.

Доказательство. Рассмотрим и . Знаем, что сходится. Это значит, что , , что и . Для данных , , рассмотрим . По неравенству треугольника , .

Обратное неверно, т.е. если рассмотреть ряд при , он сходится, но абсолютно не сходится.

Степенные ряды Тейлора

Определение. Степенным рядом называется следующий ряд (1), т.е. общий член ряда не число, а функция . Если зафиксировать некоторое число , то получается числовой ряд и можно говорить уже о сходимости или абсолютной сходимости.

Обозначим через множество всех -ов из для которых (1) сходится. Изучим характер множества . Степенные ряды удовлетворяют следующему свойству:

Теорема Абеля. Если в некоторой точке ряд (1) сходится, то для ряд будет сходится абсолютно.

Доказательство. Знаем, что сходится данная последовательность ограничена, т.е. , что для .

Изучим на абсолютную сходимость следующий ряд . Для этого оценим общий член .

Получим, что . Имеем также . Используем теорему о сравнении, сравним ряды и . Т.к. , то ряд сходится и по теореме о сравнении I-ый ряд тоже сходится. Следовательно, ряд (1) сходится, притом абсолютно.

Из теоремы Абеля следует, что если для некоторой точки ряд (1) сходится, то в окрестности ряд (1) опять сходится.

Это подсказывает, что множество представляет собой интервал. Заметим, что ряд (1) всегда сходится в точке 0.

Справедлива следующая теорема

Теорема. Если ряд (1) не везде сходится или расходится, то обязательно существует такое число , для , т.е. ряд (1) сходится, а для ряд (1) расходится.

Доказательство. Как отметили множество и множество . Это значит, что , где ряд (1) расходится. Тогда по теореме Абеля для , ряд (1) расходится. Это значит, что множество находится внутри интервала .

Значит, множество ограниченное множество, а мы знаем, что для ограниченного множества существует конечный . Обозначим . Докажем, что - это число, которое нам нужно, т.е. внутри интервала ряд (1) сходится, вне интервала – расходится. Возьмем .По определению , т.к. обязательно , такой, что , . А если такой элемент , тогда можно сказать, что по теореме Абеля, если в точке ряд (1) сходится и , то в точке ряд (1) тоже сходится, т.е. мы показали, что внутри ряд (1) сходится. Пусть теперь и . Тогда можно сказать, что , что , . По теореме Абеля, если , в точке ряд расходится, что и т.д.

Замечание. Мы показали, что и может быть сюда будут входить концевые точки, т.е. представляет из себя интервал, который называется интервалом сходимости степенного ряда, а называется радиусом сходимости степенного ряда.

Добавим крайний случай: если тогда предположим, что , а если

, то предположим, что .

Следовательно, в любом случае. Значит вопрос об изучении сходимости степенного ряда сводится к нахождению радиуса сходимости.

Для нахождения радиуса сходимости справедлива следующая теорема

Теорема. Пусть . Тогда при

Доказательство. Пусть конечное и . Обозначим через и докажем, что ряд (1) сходится, а для произвольного ряд (1) расходится.

Пусть число и фиксированное, тогда ряд (1) – числовой ряд. Для сходимости применим признак Даламбера. Изучим . По признаку Даламбера, если , то ряд (1) сходится, если , то ряд (1) расходится. При ответа нет.