Установить сходимость ряда , ни по признаку Коши, ни по признаку Д’Аламберa невозможно т.к. если применить Признак Д ’ Аламбера: , если применить Радикальный признак Коши: предел , в обоих случаях ответа (относительно сходимости ряда) нет.
Докажем теперь признак, с помощью которого можно проверить сходимость гармонических рядов.
Интегральный признак Коши. Если функция неотрицательна и убывает на промежутке , то ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство. Так как и монотонно убывающая функция, то для любого имеем т.е.
Суммируя эти неравенства и учитывая, что
имеем
или
С помощью неравенства (1) докажем эквивалентность сходимости ряда и интеграла . Пусть сходится. Отсюда следует, что , что . В частности для любого .
Из левой части неравенства (1) имеем частичные суммы положительного ряда ограничены числом т.е. ряд сходится, тогда , что . Берем и рассмотрим
где натуральное число. Тогда из правой части неравенства (1) имеем интеграл сходится. Теорема доказана.
|
|