2015-04-20
506
При возрастании количество угловых точек возрастает степень интерполяционного полинома. Полином начинает сильно осцеиллировать, это делает их неудобными для вычисления. Высокой степени можно избежать, если ввести в рассмотрение несколько отрезков. 
которые в объединение дают отрезок 
и на каждом из них строить интерполяционный полином, однако в этом случае первая производная терпит разрыв (в точках стыка)
Рисунок
Если узлов n+1, то степень n
Угловые коэффициенты разные 
, а значит разные и сами производные в этих точках 
(-слева +справа) 
Применение сплайнов избавляет от этого недостатка
Опр1. Сплайном (spline-рейка) называется функция, которая на каждом частичном экспериментальном участке представляет собой алгебраический полином (многочлен), а на всем отрезке непрерывна вместе со своими несколькими производными. Существуют сплайны разных степеней на практике наиболее часто используется кубический сплайн.
Кубический сплайн.
Отрезок [a;b] разобьем на n – равных частей точками x; 
, где 
выберем произвольный элемент участок 
кроме непрерывности самой функции будем требовать непрерывности первой и второй производной
Рисунок
- многочлен, соответствующий участку 
(1) здесь ai, bi, ci, di – пока еще неизвестные коэффициенты (имеем 4n неизвестных коэффициента) Для определения неизвестных коэффициентов будем накладывать условия относительно сплайнов
Первая группа условий I) потребуем совпадения значения сплайнов и значения функции 
; 
эти условия позволяют нам получить 2n уравнения относительно неизвестных коэффициентов 
; подставим уравнение 
II потребуем непрерывности внутренней узловой точке всего внутри узловых точек(n-1) 
т.е будем накладывать следующего условия 
, 
2(n-1) –число, полученное уравнение с помощью следующего условий выражение сплайна для этого участка
Рисунок
Найдем производные от 
и от 
, 
(4) 
(5)
(6) 
(7) 
производная справа 
слева производная справа 
т.о 
Аналогично, вторые производные Производные слева 
производные справа 
т.о 
перепишем полученное уравнение 
4n-2 –уравнения, а неизвестное 4n.
Не хватает еще 2х уравнений для получения полностью замкнутой системы. Для получения этих уравнений обычно используют условия на концах отрезках [a;b] т.е 
. Можно ставить различные условия для получения недостающих уравнений, обычно используют следующие условие 1) требования нулевой кривизны в точках a и b. Это условие влечет равенство нулю второй производной в точках a и b 
2) первая производная принимает определенное значение в точках a и b 
3) вторая производная имеет на концах определенное но не нулевые значения в точках a,b. 
4) условие периодичности т.е в точка a,b сплайн принимает одинаковые значения. Получим дополнительное уравнение на основе первого условия 
производная справная 
- производная с права 
(9) 
Решая систему уравнения (10) определяют значения неизвестных коэффициентов 
и подставляют эти значения в(1) и получают т.о звенья 
из которых склеивается кубический сплайн на всем отрезке
Замечание В системе (10) можно сделать преобразования переменных и свести их систему к системе уравнений с трехдиоганальной матрицей. В этом случае для решения системы можно применить метод прогонки.
Теорема. Кубический сплайн построенный на основе рассматриваемых условий существует и является единичным. Матрица системы (10) имеет диагональное преобладание. Это обеспечивает существование единственность решения системы (10) что влечет собой единственность сплайна, определенного на основе формулы (1)
