double arrow

Вопрос 18. Интерполяция сплайнами. Кубический сплайны

4

При возрастании количество угловых точек возрастает степень интерполяционного полинома. Полином начинает сильно осцеиллировать, это делает их неудобными для вычисления. Высокой степени можно избежать, если ввести в рассмотрение несколько отрезков. которые в объединение дают отрезок и на каждом из них строить интерполяционный полином, однако в этом случае первая производная терпит разрыв ( в точках стыка)

Рисунок

Если узлов n+1, то степень n

Угловые коэффициенты разные , а значит разные и сами производные в этих точках (-слева +справа ) Применение сплайнов избавляет от этого недостатка

Опр1. Сплайном (spline-рейка) называется функция, которая на каждом частичном экспериментальном участке представляет собой алгебраический полином (многочлен), а на всем отрезке непрерывна вместе со своими несколькими производными. Существуют сплайны разных степеней на практике наиболее часто используется кубический сплайн.

Кубический сплайн.

Отрезок [a;b] разобьем на n – равных частей точками x; , где выберем произвольный элемент участок кроме непрерывности самой функции будем требовать непрерывности первой и второй производной

Рисунок

- многочлен, соответствующий участку (1) здесь ai, bi, ci, di – пока еще неизвестные коэффициенты (имеем 4n неизвестных коэффициента) Для определения неизвестных коэффициентов будем накладывать условия относительно сплайнов

Первая группа условий I) потребуем совпадения значения сплайнов и значения функции ; эти условия позволяют нам получить 2n уравнения относительно неизвестных коэффициентов ; подставим уравнение II потребуем непрерывности внутренней узловой точке всего внутри узловых точек(n-1) т.е будем накладывать следующего условия , 2(n-1) –число, полученное уравнение с помощью следующего условий выражение сплайна для этого участка




Рисунок

Найдем производные от и от , (4) (5)

(6) (7) производная справа слева производная справа т.о Аналогично, вторые производные Производные слева производные справа т.о перепишем полученное уравнение 4n-2 –уравнения, а неизвестное 4n.

Не хватает еще 2х уравнений для получения полностью замкнутой системы. Для получения этих уравнений обычно используют условия на концах отрезках [a;b] т.е . Можно ставить различные условия для получения недостающих уравнений, обычно используют следующие условие 1) требования нулевой кривизны в точках a и b. Это условие влечет равенство нулю второй производной в точках a и b 2) первая производная принимает определенное значение в точках a и b 3) вторая производная имеет на концах определенное но не нулевые значения в точках a,b. 4) условие периодичности т.е в точка a,b сплайн принимает одинаковые значения. Получим дополнительное уравнение на основе первого условия производная справная - производная с права (9) Решая систему уравнения (10) определяют значения неизвестных коэффициентов и подставляют эти значения в(1) и получают т.о звенья из которых склеивается кубический сплайн на всем отрезке



Замечание В системе (10) можно сделать преобразования переменных и свести их систему к системе уравнений с трехдиоганальной матрицей. В этом случае для решения системы можно применить метод прогонки.

Теорема. Кубический сплайн построенный на основе рассматриваемых условий существует и является единичным. Матрица системы (10) имеет диагональное преобладание. Это обеспечивает существование единственность решения системы (10) что влечет собой единственность сплайна, определенного на основе формулы (1)

4





Сейчас читают про: