Вопрос 40. Приближенное решение обыкновенного дифференциального уравнения. Метод Пикара

Задача1)-2). Заменим эту задачу эквивалентным интегральным уравнением. проинтегрируем обе части уравнения С учетом условия (2) уравнение (4) примет вид Задачу 1)-2) заменим эквивалентным интегральным уравнением(5)

Доказательство 1)-2)=>(5) переход доказали Обратный переход (5) =>1)-2) Продиффиринциируем (5) Интегрирование уравнения (5) решим методом последовательных приближений. y₀-начальное приближение. y₀ подставим в правую часть уравнения(5) Полученное приближение подставим в правую часть уравнения (5) Произвольное n-ое приближение (6) n=1,2,3… Получим последовательность функций 1)Сходится ли последовательность

2) Чему равен

3) ( - точное решение) Равен ли предел последовательности точному решению задачи. Теорема 1 Если функция f(x,y)непрерывна по обеим переменным, существует ограниченная частная по y в рассматриваемой произвольной области, то

Как отличается полученное от ?

Теорема 2 При выполнении условия теоремы 1 имеет место неравенство. М- максимальное значение модуля функции в области G L- константа Липница. где c,d- границы области G декартово произведение отрезков В области G должны выполнятся условия теоремы 1. Поясним область G