Предельная ошибка выборки (ошибка репрезентативности) исчисляется по формуле:
где μ – средняя ошибка репрезентативности;
t – коэффициент кратности ошибки, показывающий, сколько средних ошибок содержится в предельной ошибке.
Пределы возможной ошибки (Δ) определяются с вероятностью. Значение t найдем по таблице интеграла вероятностей:
Коэффициент доверия (коэффициент кратности ошибки) | Вероятность |
t = 1 t = 2 t = 3 | Р = 0,683 Р = 0,954 Р = 0,997 |
Конкретное количественное выражение предельная ошибка принимает после определения средней ошибки выборки. Для нахождения ошибки репрезентативности собственно случайной и механической выборки имеются формулы:
Повторная выборка при определении:
средней ошибки выборочной средней ;
средней ошибки выборочной доли .
Бесповторная выборка при определении:
средней ошибки выборочной средней ;
средней ошибки выборочной доли .
где N – численность генеральной совокупности;
n – численность выборочной совокупности;
σ2 – дисперсия варьирующего (осредняемого) признака в выборочной совокупности;
w – доля данного признака в выборке;
(1 – w) – доля противоположного признака в выборке.
1) Для определения границ генеральной средней необходимо исчислить выборочную среднюю () и дисперсию (σ2), расчет которых приведен в таблице:
Таблица 11
Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб. | Число предприятий, f | Середина интервала, х | хf | |||
До 2 2 – 4 4 – 6 Свыше 6 | -3,52 -1,52 0,48 2,48 | 12,39 2,31 0,23 6,15 | 61,95 27,72 5,29 61,50 | |||
Итого | - | - | - | 156,46 |
Тогда
млн. руб.;
Средняя ошибка выборки при определении среднегодовой стоимости основных фондов составит:
а) при повторном отборе - млн. руб.;
б) при бесповторном отборе - млн. руб.
Следовательно, при определении среднегодовой стоимости основных производственных фондов в среднем мы могли допустить среднюю ошибку репрезентативности 0,25 млн. руб. при повторном и 0,24 млн. руб. при бесповторном отборе в ту или иную сторону от среднегодовой стоимости основных производственных фондов, приходящейся на одно предприятие в выборочной совокупности. Исчисленные данные показывают, что при бесповторной выборке средняя ошибка репрезентативности (0,24) всегда меньше, чем при тех же условиях при повторном отборе (0,25).
В нашем примере Р = 0,997, следовательно, t = 3.
Исчислим предельную ошибку выборочной средней (Δх):
млн. руб. (при повторном отборе);
млн. руб. (при бесповторном отборе).
Порядок установления пределов, в которых находится средняя величина изучаемого показателя в генеральной совокупности, в общем виде может быть представлен следующим образом:
или
Для нашего примера среднегодовая стоимость основных производственных фондов в среднем на одно предприятие генеральной совокупности будет находиться в следующих пределах:
а) при повторном отборе или 4,27 млн. руб. ≤`х ≤ 4,77 млн. руб.;
б) при бесповторном отборе или 4,28 млн. руб. ≤`х ≤ 4,76 млн. руб.
Эти границы можно гарантировать с вероятностью 0,997.
2) Вычисление пределов при установлении доли осуществляется аналогично установлению пределов для средней величины. В общем виде расчет можно представить следующим образом:
или ,
где р – доля единиц, обладающих данным признаком в генеральной совокупности.
Доля предприятий в выборочной совокупности со стоимостью основных производственных фондов свыше 4 млн. руб. составляет:
или 66%.
Определяем предельную ошибку для доли. По условию задачи известно, что N = 500; n = 50; w = 0,66; Р = 0,954; t = 2.
Исчислим предельную ошибку доли:
а) при повторном отборе или 13,4%;
б) при бесповторном отборе или 12,7%.
Следовательно, с вероятностью 0,954 доля предприятий со стоимостью основных производственных фондов свыше 4 млн. руб. в генеральной совокупности будет находиться в пределах:
р = 66% ± 13,4% или 52,6% ≤ р ≤ 79,4% при повторном отборе;
р = 66% ± 12,7% или 53,3% ≤ р ≤ 78,7% при бесповторном отборе.
Расчеты убеждают в том, что при бесповторном отборе ошибка выборки меньше, чем при тех же условиях при повторном отборе.
3) Для нахождения численности случайной и механической выборки имеются следующие формулы:
Повторный отбор | Бесповторный отбор | |
При определении ошибки среднего размера признака | ||
При определении ошибки доли признака |
При условии, что N = 500; Δх = 0,5 млн. руб.; σ2 = 3,13; Р = 0,997; t = 3 найдем объем выборки для расчета ошибки средней:
а) при повторном отборе предприятий;
б) при бесповторном отборе предприятия.
При условии, что N = 500; Δw = 0,15; w = 0,66; Р = 0,954; t = 2 объем выборки для расчета ошибки доли будет равен:
а) при повторном отборе предприятий;
б) при бесповторном отборе предприятий.
Выводы:
1) численность выборки увеличится, если при прочих равных условиях уменьшить предельную ошибку;
2) численность выборки уменьшится, если при прочих равных условиях уменьшить вероятность, с которой требуется гарантировать результат выборочного обследования;
3) численность выборки уменьшится, если при прочих равных условиях увеличить предельную ошибку.
№ 10. В городе А численность населения на начало года составляла 199 тыс. чел., а на конец года 201 тыс. чел. За год численность прибывших составила 1,7 тыс. чел., а численность выбывших 0,5 тыс. чел.
Определим коэффициенты естественного, механического и общего прироста населения.
Решение. Коэффициент механического прироста определим по формуле:
,
где П – число прибывших;
В – число выбывших;
– среднегодовая численность населения.
тыс. чел.
‰.
Коэффициент общего прироста равен:
‰.
Т.к. коэффициент общего прироста равен , то коэффициент естественного прироста рассчитаем: ‰.
Таким образом, за год естественный прирост населения составил 4 чел., прирост за счет миграции 6 чел., а за счет всех факторов – 10 чел. в расчете на каждую тысячу жителей.
№ 11. По данным предприятия определим индексы средней заработной платы переменного и постоянного состава, индекс влияния структурных сдвигов:
№ цеха | Прошлый год | Отчетный год | ||
Фонд заработной платы, тыс. руб. | Численность рабочих, чел. | Фонд заработной платы, тыс. руб. | Численность рабочих, чел. | |