Определение касательных напряжений при поперечном изгибе. Формула Журавского - Шведлера

Как следует из вышесказанного, гипотезы плоских сечений и отсутствия давления продольных волокон при поперечном изгибе, строго говоря, не работают. Однако при изгибе балок, у которых отношение длины к высоте профиля l / h ≥ 5 та часть общего напряженного состояния, которая обусловлена действием поперечных сил, относительно мала. Поэтому, что подтверждается экспериментами, указанные предположения выполняются приближенно и при прямом поперечном изгибе, а формулы (7.13, 7.14) обеспечивают приемлемую для практики точность. Учитывая последний факт, касательные напряжения от сдвигов в поперечных сечениях балок можно оценить, используя лишь условия равновесия.

Запишем условие равновесия части элемента dx отсеченной горизонтальной плоскостью на расстоянии z от нейтрального слоя (рис.7.7).

Рис. 7.7

ΣF_x =0: + τ_zx(z)b(z)dx - =0

или с учётом (6.13)

M_y / I_y + τ_zx(z) b(z) dx - (M_y+ dM_y) / I_y =0.

откуда τ_zx(z) b(z) = dM_y/dx S_y^отс /I

или с учётом (6.2) , (7.16)

где τ_zx(z)= τ_xz(z) - средние касательные напряжения в слое материала на расстоянии z от нейтрального;

A_отс = - площадь поперечного сечения выше (ниже) рассматриваемого слоя, т.н. отсеченная площадь;

S_y^отс = = A_отс z_c (7.17)

- статический момент площади поперечного сечения выше (ниже) рассматриваемого слоя относительно оси OY, т.н. статический момент отсеченной площади, z_c - координата центра тяжести этой площади;

b(z) – ширина поперечного сечения бруса на расстоянии z от оси OY.

Выражение для определения касательных напряжений при изгибе (7.16) носит название формула Журавского – Шведлера в честь первых исследователей этой проблемы.

Дмитрий Иванович Журавский (1821 - 1891) выдающийся русский строитель железных дорог и мостов. Впервые правильно количественно и качественно оценил сдвигающие усилия между продольными слоями балок. Теоретическое исследование было опубликовано в 1855 г. в виде приложения к его труду о мостах системы Гау под заглавием “Замечания относительно сопротивления бруса, подверженного силе, нормальной к его длине”. Существенный вклад в исследование этой проблемы внёс немецкий учёный И. Шведлер (Schwedler I.W.).

Из формулы (7.16) следует, что τ(z=0) = τ_max (в нейтральном слое) и τ(z=z_max) = 0 в крайних волокнах бруса.