Устойчивость стержней конечной гибкости

Задача определения напряженно-деформированного состояния стержней из нелинейно упруго-пластического материала представляет значительные математические и вычислительные трудности. Потребность в исследовании потери устойчивости стержнями конечной гибкости возникла в период бума строительства железных дорог и мостов середины и конца 19 века. Вышеупомянутые трудности были преодолены инженерами путём проведения систематических экспериментальных исследований (Т. Карман, Л. Тетмайер, Ф.С. Ясинский). Русский учёный Ясинский на основании проведенных испытаний предложил аппроксимацию результатов полиномом второй с степени

,

σ_кр= a - b λ + c λ²,(9.16)

который получил название формула Ясинского. Для низкоуглеродистой конструкционной стали найдено

a = 310МПа, b = 1,14МПа, c=0. (9.17)

Практический расчёт на устойчивость.

Условие устойчивости сжатого стержня σ < σ_кр

Известная неопределённость левой и правой частей этого неравенства перекрываются коэффициентом запаса на устойчивость n_у и условие устойчивости принимает вид σ ≤ [σ]_у, где

[σ]_у= σ_кр / n_у (9.18)

или σ =P/A ≤φ[σ] (9.19)

Здесь φ =[σ]_у / [σ] (9.20)

- так называемый коэффициент изменения основного допускаемого напряжения [σ], являющийся функцией его гибкости λ.

Наиболее надёжны зависимости φ = φ (λ) (9.21) полученные в результате обработки экспериментальных данных, приводимые в справочной и учебной литературе.

В лекции 10 дана классификация центрально сжатых стержней, подробно рассмотрена процедура проверочного и проектировочного расчётов, а также таблицы зависимостей (9.21) и аппроксимирующие их формулы для различных материалов.

Контрольные вопросы к лекции 9

1 Разъясните понятия устойчивого, неустойчивого и безразличного равновесия в механике, поясните примером механической системы твёрдых тел.

2 Что такое устойчивость формы упругого равновесия?

3 Что такое критическая сила для центрально сжатого стержня?

4 Какими способами исследуют устойчивость деформируемых систем?

5 Сущность статического метода исследования устойчивости.

6 Сущность энергетического метода исследования устойчивости.

7 Сущность динамического метода исследования устойчивости.

8 Сущность метода начальных несовершенств исследования устойчивости.

9 Запишите дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня.

10 Какова величина изгибающего момента в сечениях центрально сжатого стержня в отклонённом положении?

11 Запишите дифференциальное уравнение устойчивости центрально сжатого стержня, классифицируйте его.

12 Запишите общий интеграл дифференциальное уравнение устойчивости центрально сжатого стержня и найдите постоянные интегрирования из граничных условий.

13 Частное решение дифференциального уравнения устойчивости даёт бесконечный ряд значений форм потери устойчивости и соответствующих сил. Какую силу следует принять в качестве критической?

14 Запишите формулу Эйлера для критической силы центрально-сжатого стержня, разъясните смысл входящих в неё величин.

15 В каком случае критическую силу называют Эйлеровой силой?

16 Запишите формулу Эйлера критических напряжений для центрально-сжатого стержня, разъясните смысл входящих в неё величин.

17 Что такое коэффициент приведения длины стержня?

18 Как коэффициент приведения длины стержня зависит от способа закрепления его концов?

19 Какие факторы и как влияют на величину критической силы?

20 Всегда ли для сжатых стержней рационально использование высокопрочной стали?

21 Что такое гибкость стержня?

22 Что такое предельная гибкость стержня?

23 Запишите формулу по которой определяют предельную гибкость?

24 Какова предельная гибкость для стальных стержней? Докажите.

25 Как определить критическую силу, если устойчивость теряется за пределами упругости?

26 Запишите формулу Ясинского. Каким способом автор её получил?

27 Диапазон гибкости, в котором применима формула Ясинского для стали.

28 Диапазон гибкости стальных стержней, в котором критические напряжения близки к пределу текучести.

29 Что такое допускаемые напряжения на устойчивость?

30 Какую деформацию испытывает стержень до момента потери устойчивости?

31 Запишите условие устойчивости.

31 Что такое коэффициент изменения основного допускаемого напряжения?

32 Как выполнить проверочный расчёт центрально сжатого стержня?

33 Как выполнить проектировочный расчёт центрально сжатого стержня?

Лекция 10

Методика практических расчётов сжатых стержней

Классификация центрально сжатых стержней, определение критических напряжений, алгоритм расчётов на устойчивость, проблемы реализации алгоритма, аппроксимация таблиц φ = φ (λ), общие рекомендации.

Цель: Ознакомить курсантов с методикой практических расчётов центрально- сжатых стержней, как в пределах, так и за пределами линейной упругости.

Рекомендованная литература: [1-4]

ВСТУП

Вже на рівні побутового досвіду відомо, що короткі стрижні здатні витримувати на стиск значно більші навантаження, ніж довгі стрижні з такого ж матеріалу, розмірів і форми поперечного перерізу. Всі знають, як важко розірвати вручну пластмасову або дерев'яну лінійку (не кажучи вже про сталеву) і як легко їх зламати шляхом стиску. І всі спостерігали, що перед руйнуванням стислий стрижень обов'язково вигнеться, перш ніж зламається.

Явище вигину центрально-стислих стрижнів при досягненні навантаженням деякої величини, що називається критичною силою має назву - втрата стійкості форми пружної рівноваги або просто - втрата стійкості. Критична сила для достатньо довгого стрижня завжди менше, ніж для кожної із частин, на які він може бути розрізаний, причому ця відмінність виявляється обернено пропорційною квадрату довжини елемента. Тут необхідно зазначити, що критична сила залежить не тільки від довжини стрижня, матеріалу, розмірів і форми його поперечного перерізу, але й від способу закріплення його кінців у процесі навантаження. Для призматичних стрижнів (при інших рівних) ця відмінність досягає 16–кратного.

Проблема забезпечення стійкості стислих елементів конструкцій виникла перед інженерами у середині 19 століття після серії катастроф, що супроводжували повсюдне будівництво залізниць і мостів із застосуванням нових для того часу й більш міцних, чим традиційні, камінь і дерево конструкційних матеріалів: чавуну, пудлінгового заліза та сталі [2].

З тих пір наука про міцність і її розділ стійкість деформованих систем, пройшли великий шлях теоретичних і експериментальних досліджень. У результаті сучасний інженер має у своєму розпорядженні великий досвід попередників та різноманітні методи і засоби розрахунку конструкцій на стійкість. Цей набір включає потужні програмні комплекси методу кінцевих елементів (МКЕ), орієнтовані на оптимальне проектування і розрахунки зразків новітньої техніки, так і старі, перевірені часом, підходи опору матеріалів. Кожний з них має свої переваги й недоліки.

Сучасні програмні комплекси МКЕ є результатом постійної роботи великих колективів вчених і програмістів (подібно до операційних систем, наприклад, Windows), але мають більш вузький ринок, отже, відносно дорогі. Метод універсальний, мало відчутний до мірності задач, точний у межах використовуваної фізичної моделі середовища. Втім, легальне його використання вимагає значних коштів і доступне лише великим організаціям. Проблема введення початкових даних у програми МКЕ вирішена у деякій мірі; однак обробка і осмислення результатів обчислень залишається проблематичним У цьому плані в рішенні певних задач незамінні підходи опору матеріалів.

Опір матеріалів - прикладна технічна дисципліна, що дозволяє в найпростішій постановці, за рахунок спрощуючих припущень, вирішувати згадані проблеми. Розрахункові залежності опору матеріалів виходять при цьому досить наближеними, але досить простими й доступними рядовим інженерам у їхній повсякденній практиці, а обчислення можуть бути виконані вручну з використанням найпростішої офісної техніки.

Звичайно, далеко не всі елементи конструкцій можуть бути зведені до розрахункової схеми бруса. Але нерідко навіть якщо l/b =2-3 вдається, використовуючи прості формули опору матеріалів, хоча б грубо оцінити напруги й призначити міцні розміри в першому наближенні з наступним експериментальним доведенням, що часто дешевше й надійніше використання МКЕ.

Незважаючи на двовікову історію, підходи опору матеріалів продовжують розвиватися й удосконалюватися. Зокрема це стосується вдосконалення методик розрахунків і їх програмного забезпечення. Таку роботу почали студенти шифр “Стійкість” з метою забезпечення розробок і навчального процесу єдиною програмно забезпеченою методикою розрахунків стійкості центрально-стислих стрижнів.