2015-04-20
780
Определение: Функция S(x) называется кубическим сплайном, если существует N кубических полиномов Sk(x) с коэффициентами sk,0, sk,1, sk,2, sk,3, которые удовлетворяют следующим условиям:
1. 
, для 
и 
, т.е. кубический сплайн состоит из кубических полиномов.
2. Кусочно-кубическое интерполирование задается совокупностью точек, т.е. 
для 
.
3. Кусочно-кубическое представление состояло из кривых, которые являются гладкими непрерывными функциями. Вторая и первая производные должны быть непрерывны: 
, 
, 
.
Наиболее часто на практике используется кубический сплайн следующего вида: 
.
Для задания сплайна коэффициенты 
, 
, 
, 
- подбираются так, чтобы 
, а первая и вторая производные были непрерывными.
Леммы о сплайнах:
- Смыкающий (чертежный) сплайн. Существует единственный кубический сплайн, который имеет первую производную с граничными условиями
, 
, т.е. смыкающий сплайн имеет определенный наклон в крайних точках. - Естественный сплайн. Существует единственный кубический сплайн со свободными граничными условиями
, 
, т.е. сплайн допускает свободный наклон на краях для обеспечения положения, которое минимизирует осцилляцию кривой. - Экстраполяционный сплайн. Существует единственный кубический сплайн, который используется для экстраполирования по внутренним узлам, чтобы определить
по узлам х1, х2 и 
по узлам хN-1, хN-2. - Сплайн, заканчивающийся параболой. Существует единственный кубический сплайн такой, что
на интервале [x0, x1] и на интервале [xN-1, xN]. - Сплайн с заданной кривизной в крайних точках. Существует единственный кубический сплайн с заданными значениями второй производной в крайних точках.
