Метод линеаризации данных по методу наименьших квадратов

Техника линеаризации данных применяется для подгонки кривых, позволяющих при преобразовании переменных получить линейную зависимость вида . В таблице 1 приведены основные приемы линеаризации.

Таблица 1.

Таблица замены переменной для метода линеаризации данных

№ п/п	Функция	Линеаризованная форма	Замена переменных и констант
1.
2.
3.
4.
5.
6.

Пусть заданы N точек с различными абсциссами {x_k}. Величина среднеквадратичной ошибки будет минимальной, когда каждая частная производная по неизвестным (в данном случае неизвестные А и В) будет обращаться в нуль, т.е. А и В являются решением нормальной системы уравнений вида:

(3.4)

Решая систему нормальных уравнений (3.4) находим искомые коэффициенты А и В.

Пример: Аппроксимировать таблично заданную функцию по пяти заданным точкам полиномом первой степени или построить линейную зависимость с помощью метода наименьших квадратов.

Решение:

1. Запишем нормальную систему для - полинома первой степени:

,

где N = 5 – количество точек.

2. Вычислим все необходимые суммы:N=5, , , , . Таким образом, подставляя числовые значения сумм в нормальную систему и решая ее, относительно неизвестных получаем, что А=0,8 и В=0,1

3. Таким образом,

4. Проверяем полученный полином. Для наглядности построим исходные данные и полученную зависимость на графике:

Замечания:

1. Если данные не проявляют полиномиальной природы, то результат построения полинома методом наименьших квадратов будет сильно осциллировать, т.е. появится полиномиальное раскачивание. Оно наблюдается у полиномов высокой степени, поэтому полиномы выше пятой степени редко используются.