Действия над событиями

Суммой (объединением) нескольких событий A ₁, A ₂, …, A_n называется событие C, состоящее в появлении хотя бы одного из событий:

. (13)

Произведением (пересечением) нескольких событий A ₁, A ₂, …, A_n называется событие C, состоящее в совместном появлении всех этих событий:

. (14)

Сложение и умножение вероятностей.
Теоремы сложения вероятностей

Вероятность суммы n несовместных событий A ₁, A ₂, …, A_n равна сумме вероятностей этих событий:

P (A ₁ + A ₂ + … + A_n) = P (A ₁) + P (A ₂) + … + P (A_n). (15)

Сумма вероятностей A ₁, A ₂, …, A_n, образующих полную группу, равна единице:

P (A ₁) + P (A ₂) + … + P (A_n) = 1. (16)

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

P (A) + P () = 1. (17)

Если обозначить P (A) = p, а P () = q, тогда

p + q = 1. (18)

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

P (A + B) = P (A) + P (B) – P (AB). (19)

Вероятность суммы трех совместных событий равна:

P (A + B + C) = P (A) + P (B) + P (C) –
– P (AB) – P (AC) – P (BC) – P (ABC). (20)

При использовании формул сложения вероятностей совместных событий следует иметь в виду, что события могут быть как независимы, так и зависимы.

Два события называются независимыми, если вероятность появления одного из событий не зависит от того, появилось или не появилось другое событие. События A ₁, A ₂, …, A_n называются независимыми в совокупности или независимыми, если они попарно-независимы, а также независимы каждое из них и любая комбинация, составленная из остальных (части или всех) событий.

Пусть события A ₁, A ₂, …, A_n – независимы в совокупности, причем P (A ₁) = p ₁, P (A ₂) = p ₂, …, P (A_n) = p_n и в результате испытания могут наступить все события либо часть из них, либо одно из них, тогда вероятность появления хотя бы одного из них определяется по формуле: