Вероятность произведения зависимых событий

Вероятность произведения зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило, т. е.

P (A · B) = P (A) · P_A (B). (24)

Формула умножения вероятностей может быть распространена на любое число m зависимых событий A ₁, A ₂, …, A_m:

P (A ₁ · A ₂ · … · A_m) = P (A ₁) · P_{A 1}(A ₂) ×
× P_{A 1 A 2}(A ₃) ·…· P_{A 1 A 2… A m –1}(A_m), (25)

Причем вероятность последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие произошли.

Пример 1.15. Для некоторой местности среднее число пасмурных дней в июле равно 6. Какова вероятность того, что первого и второго июля будет ясная погода?

Решение. Введем обозначения событий: A – «первого июля будет ясная погода»; B – «второго июля будет ясная погода»; A и B – события зависимы, AB – «первого и второго июля будет ясная погода».

Вероятность того, что первого июля будет ясная погода, равна . Вероятность того, что второго июля будет ясная погода, при условии, что первого июля была ясная погода, равна . Тогда искомая вероятность того, что первого и второго июля будет ясная погода, по теореме умножения вероятностей зависимых событий, равна .

Пример 1.16. Найти вероятность того, что наудачу написанная простая дробь сократится на 2.

Решение. Обозначим A – событие, заключающееся в том, что «дробь сократится на 2»; B – событие «числитель дроби делится на 2»; C – «знаменатель дроби делится на 2».

Так как каждое второе число делится на 2, то .

B и C – независимые события.

А = В · С; .

Пример 1.17. Бросили монету и игральную кость. Какова вероятность того, что на монете выпал герб, а на кости – число очков, кратное 3?

Решение. Пусть событие A – «на монете выпал герб», событие
B – «на игральной кости выпало число очков, кратное 3».

, .

Пусть событие C – «одновременное появление событий A и B». Следовательно, C = A · B. Так как A и B события независимые, то вероятность появления события С равна

.

Пример 1.18. Спортсмен стреляет по мишени, разделенной на
3 сектора. Вероятность попадания в первый сектор равна 0,4, во второй – 0,3. Какова вероятность попадания либо в первый, либо во второй сектор?

Решение. Событие A – «попадание в первый сектор», событие
B – «попадание во второй сектор». Данные события несовместны (попадание в один сектор исключает попадание во второй).

Событие C – «попадание либо в первый, либо во второй сектор», т. е. С = A + B. Тогда Р (А + В) = Р (А) + Р (В) = 0,4 + 0,3 = 0,7.

Пример 1.19. Монета подброшена три раза. Какова вероятность того, что цифра выпадет ровно 2 раза?

Решение. Пусть A_k – «выпадение цифры при k -том подбрасывании монеты» (k = 1, 2, 3); A – «выпадение двух цифр при трех подбрасываниях». Тогда . Слагаемые в правой части этого равенства попарно несовместны, следовательно

Так как события A ₁, A ₂, A ₃ – независимы, тогда

Пример 1.20. Найти вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число окажется кратным или 2, или 7, или тому и другому одновременно.

Решение. Событие A – «наудачу взятое двухзначное число кратно 2», событие B – «наудачу взятое двухзначное число кратно 7». Найдем P (C) = P (A + B). Так как A и B – события совместные, то P (A + B) =
= P (A) + P (B) – P (AB).

Двухзначных чисел всего 90, из них 45 – кратны двум (являются четными) и благоприятствуют событию A; 13 чисел кратны семи и благоприятствуют событию B; 7 чисел кратны двум и семи одновременно и благоприятствуют событию AB.

; ; .

Следовательно, .

Пример 1.21. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень стрелком при трех выстрелах равна 0,875. Какова вероятность попадания в мишень при одном выстреле?

Решение. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень при трех выстрелах (событие A), согласно формуле (22), равна P (A) = 1 –
– q ³, где q – вероятность промаха. По условию P (A) = 0,875. Следовательно, 0,875 = 1 – q ³ или q ³ = 1 – 0,875, q = 0,5. По формуле (18) определим вероятность появления события А: p = 1 – 0,5 = 0,5.