Наивероятнейшее число появлений события

Число наступлений события в независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если вероятность наступления события данное число раз в этой серии испытаний наибольшая по сравнению с вероятностями других исходов.

Наивероятнейшее число события удовлетворяет неравенствам , где n – число испытаний, p – вероятность наступления события A в отдельном испытании, q = 1 – p – вероятность того, что событие A не произойдет. Так как разность np + p –
– (np – q) = p + q = 1, то всегда существует целое число k ₀, удовлетворяющее приведенному выше двойному равенству.

Причем, если:

1) (np – q) – целое число, то наивероятнейших чисел два: k ₀ = np –
– q и k ₀ = np + p;

2) np – целое, то наивероятнейшее число k ₀ = np;

3) np – q – дробное, то существует одно k ₀.

Пример 1.33. Игральную кость бросают 100 раз. Найти наибольшее вероятное число опытов, в которых число выпавших очков кратно 3.

Решение. Так как n = 100, , , следовательно, искомое наивероятнейшее число удовлетворяет неравенствам

; .

Отсюда следует, что k ₀ = 33.

Пример 1.34. Определить, сколько раз надо подбросить монету, чтобы наивероятнейшее число выпадения герба было равно 30.

Решение. Пусть событие A – выпадение герба, тогда , , k ₀ = 30. Требуется найти число независимых испытаний n, удовлетворяющих двойному неравенству .

; и .

Таким образом, необходимо провести от 59 до 61 независимых испытаний.

Пример 1.35. Какова вероятность наступления события A в каждом испытании, если наивероятнейшее число наступления события A в 120 испытаниях равно 32?

Решение. Согласно неравенству имеем:

; .

Решая полученную систему, находим, что .