2015-06-10
3543
Опр. Наивероятнейшим числом 
появления события 
в 
независимых испытаниях называется число, для которого вероятность 
не превышает или, по крайней мере, не меньше вероятности каждого из остальных возможных исходов испытаний.
Для определения наивероятнейшего числа появления события достаточно знать число испытаний и вероятность появления события в одном испытании. Покажем это:
Пусть числу соответствует вероятность
.
Тогда, согласно определению наивероятнейшего числа, вероятности наступления события 
и 
раз не должны превышать вероятность 
, т.е. должны выполняться условия:
(1)
(2)
По формуле Бернулли из (1) получаем:
,
откуда, после преобразований имеем неравенство
.
Разрешая это неравенство относительно 
, получаем
. (3)
Аналогично для неравенства (2):
откуда, после преобразований имеем неравенство
.
Разрешая это неравенство относительно , получаем
. (4)
Объединяя неравенства (3) и (4), получаем
(5)
Замечание. Длина интервала, определяемого неравенством (5) равна единице:
|
|
|
.
Поэтому, если границы этого интервала – дробные числа, то мы получим одно значение наивероятнейшего числа , если же границы – целые числа, то получаем два значения числа :
и 
.
Пример 1. Имеется 20 ящиков с деталями. Вероятность того, что в каждом ящике все детали стандартные равна 
. Найти наивероятнейшее число ящиков, в которых все детали стандартные.
, Þ 
.
Пример 2. При данном технологическом процессе 85% всей произведенной продукции – высшего качества. Найти наивероятнейшее число изделий высшего качества в партии из 150 изделий.
, Þ 
.
Пример 3. Определить наиболее вероятное число пораженных самолетов в группе из 13 бомбардировщиков, если самолеты поражаются независимо друг от друга и вероятность поражения одного самолета равна 
.
По условию, 
. Тогда
, Þ 
.
Это значит, что имеются два значения: 
и 
, каждое из которых является наиболее вероятным числом пораженных самолетов.
