Смешанное произведение трех векторов

Смешанным произведением трех векторов называется произведение, которое получается скалярным умножением векторного произведения двух векторов на третий вектор, то есть произведение вида или иначе .

Свойства смешанного произведения

1. = .

2. .

3. .

4. .

Если три вектора заданы своими координатами в ортонормированном базисе как , то

.

Применение смешанного произведения

1. Объем параллелепипеда, построенного на векторах , V_парал.=| |.

2. Объем пирамиды, построенной на векторах , V_пир.= | |.

3. Условие компланарности трех векторов =0.

___________

2.4.1. Найти объем пирамиды, вершинами которой служат точки А(1;2;3); В(0;-1;1); С(2;5;2); Д(3;0;-2).

Ответ: 4.

2.4.2. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах .

Ответ: 24.

2.4.3. Доказать, что векторы компланарны.
Ответ:

2.4.4. Доказать, что точки А(2;-1;-2); В(1;2;1); С(2;3;0); Д(5;0;6) лежат в одной плоскости.

Ответ: не лежат.

_______________

2.4.5. Задана пирамида с координатами своих вершин: А(2;0;0); В(0;3;0); С(0;0;6) и Д(2;3;8). Вычислить ее объем и высоту, опущенную на грань АВС.

Ответ: 14; .

2.4.6. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах .

Ответ: 51.

2.4.7. Проверить компланарность векторов .

Ответ: компланарны.