Правила Лопиталя

Первое правило. Неопределенность .

Если , то .

Второе правило. Неопределенность .

Если , то .

Неопределенности вида 0∞; ∞-∞; 1^∞;0⁰ сводятся к неопределенностям , путем алгебраических преобразований.

______________

4.5.1. Найти производные второго порядка:

а) y=cos ² x; б) y=arctgx ² ; в) ;

г) ; д) .

4.5.2. Найти f' (0), f "(0), f "'(0) если f(x)=e ^2x sin 3 x.

4.5.3. Вывести формулу для производной n – го порядка для функций:

а) y=x^m; б) у=а^х.

Ответ: а) у ⁽ⁿ⁾=m(m- 1 )…(m-n+ 1 )x^m-n. б) y⁽ⁿ⁾=a^x(lna)ⁿ.

4.5.4. Найти пределы:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) ; к) .

Ответ: а) ; б) 1; в) ∞; г) 1/2; д) 1; е)1; ж) 1; з)0; и) 1; к)1.

_________________

4.5.5. Найти производные второго порядка:

а) у=(х ²-10 х +5 ) ⁵; б) y=sin²x;

в) ; г) у=ln(x ³-2 x ²+4).

4.5.6. Найти выражение для n -й производной следующих функций:

а) у =3^х; б) у = cosx; в) y=sin ² x.

4.5.7. Найти пределы:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) ; к) .

Ответ: а) 1; б) 0; в)0; г)10; д) -1/3; е)∞; ж) -1; з) 1; и) 1; к)1.

Монотонность функций. Экстремумы.