2015-04-20
972
Функция f(x) называется возрастающей в точке х 0, если в некоторой e - окрестности этой точки f(x 0 -h)<f(x0)<f(x 0 +h).
Убывающей – если f(x 0 +h)<f(x0)<f(x 0 -h), где 0< h <e.
Функция f(x) называется возрастающей на отрезке [a,b], если для любых х 1 и х 2 этого отрезка из неравенства х 1> х 2 следует неравенство f(х 1 ) > f(х 2 ). Если же из неравенства х 1> х 2 следует, что f(х 1 ) < f(х 2 ), то функция f(x) – убывающая на отрезке [a,b].
Можно сформулировать достаточные признаки возрастания и убывания функции y=f(x)
Если y' >0 для всех х Î[a,b], то функция возрастает на [a,b]; при y' <0 для х Î[a,b], то функция на [a,b] убывает.
Функция f(x) может иметь экстремум лишь в тех точках, в которых f'(x) =0 или не существует. Такие точки называются критическими, или стационарными, или подозрительными на экстремум. Равенство нулю первой производной данной функции является необходимым условием существования экстремума.
В качестве достаточного условия существования экстремума в критической точке х 0 можно принять смену знака первой производной при переходе через критическую точку, при этом, если знак меняется с + на -, то в точке х 0 – максимум, если с – на +, то в точке х 0 – минимум.
Если производная y ' знак не меняет при переходе через точку, подозрительную на экстремум, то экстремума в этой точке нет.
Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функций у=f(x) на отрезке[a,b] необходимо найти критические точки, принадлежащие [a,b]. Вычислить значения функции в этих критических точках и на концах отрезка. Из всех найденных значений выбираем наибольшее и наименьшее.
__________________
4.6.1. Найти интервалы монотонности следующих функций:
а) у= 2-3 х + х 3; б) у=хе -х;
в) у=(х -2 ) 2 (х+ 2 ); г) y=ln(x 2-2 x +4).
Ответ: а) (-∞;-1)È(1;∞) – возрастает; (-1;1) – убывает;
б) (-∞;1) – возрастает; (1;∞) – убывает;
в) (-∞;-1)È(1;∞) – возрастает; (-1;1) – убывает;
г) (-∞;1) – убывает; (1;∞) – возрастает;
4.6.2. Найти экстремумы функций:
а) 
; б) y=ln(x 2+1 );
в) 
; г) у=(х- 1 ) 6/7.
Ответ: а) у min= y( 0 )= 0; y max= 
;
б) у min= y( 0 )= 0;
в) у max= y( 1 )= 
; y min= 
;
г) у min= y( 1 )= 0.
4.6.3. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на заданном отрезке:
а) у=х 4+2 х 2+5, х Î[-2,2]; б) 
, х Î[-6,8];
в) 
, х Î[0,4]; г) y =2 tgx-tg 2 x, х Î[0,π/2].
Ответ: а) 29,5; б) 10; 6; в) 3/5; -1; г) у наиб=1.
_______________
4.6.4. Найти интервалы монотонности следующих функций:
а) у=( 2 -х)(х+ 1 ) 2; б) у=х 3-6 х +5;
в) у=х+е -х; г) y=xlnx.
Ответ: а) (-∞;-1)È(1;∞) – убывает; (-1;1) – возрастает;
б) (-∞;-2)È(2;∞) – возрастает; (-2;2) – убывает;
в) (-∞;0) – возрастает; (0;∞) – убывает;
г) (0;1/ е) – убывает; (1/ е;∞) – возрастает.
4.6.5. Найти экстремумы функций:
а) 
; б) 
.
Ответ: а) y max= y (11/4)=13/4; б) y min= y(e)=e.
4.6.6. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на отрезке:
а) 
, х Î[0,4]; б) 
, х Î[0,1];
в) 
, х Î[0,1].
Ответ: а) 8;0; б) 1; 3/5; в) π/4; 0.
