Уравнение внутреннего трения

Прежде чем записать уравнение внутреннего трения представьте себе неограниченную среду (газ или жидкость), движущуюся плоско-параллельными слоями в горизонтальном направлении. Скорость этого макроскопического движения меняется в направлении, перпендикулярном к слоям. Это направление примем за ось (Рис. 16.3).

Рис.16.3.

Допустим для определенности, что скорость возрастает с возрастанием . Рассечем мысленно среду на две половины плоскостью , параллельной слоям. Тогда верхняя половина среды будет действовать на нижнюю с силой, направленной вправо, а нижняя на верхнюю – с силой, направленной влево. Это и есть силы внутреннего трения или вязкость.

Уравнение внутреннего трения называется уравнением Ньютона

где - плотность потока импульса, - градиент скорости упорядоченного движения молекул, - коэффициент вязкости (динамическая вязкость). Размерности названных величин таковы:

Направления плотности потока импульса и противоположны (cмотрите поясняющий рис. 16.4).

Рис. 16.4.

Представленные выше уравнения переноса справед

ливы для газов, жидкостей и твердых тел. Специфика системы «зашита» в коэффициентах переноса. Их значения зависят от внутренней структуры вещества и его состояния (температуры, давления). В рамках макроскопического подхода коэффициенты переноса определяют из экспериментов. Молекулярно-кинетическая теория позволяет получить значения этих коэффициентов с использованием соответствующих моделей материальных тел.

16.3. Внутренняя теплопроводность и внешняя теплопередача

Рассмотрим более детально явление теплопроводности, имеющее важное практическое значение. Формула (16.1), определяющая плотность потока теплоты, относится к случаю, когда распределение температуры в среде непрерывно и теплопроводность также является непрерывной функцией координат. Теплопроводность в этом случае называется внутренней теплопроводностью. В стационарном случае температура не меняется от времени, а является функцией только пространственных координат. Поэтому все стационарные задачи на внутреннюю теплопроводность сводятся к двум вопросам. Требуется найти либо распределение температуры в среде с заданными граничными условиями, либо получить функциональную зависимость от координаты. Рассмотрим простейшие случаи, когда среда однородна и поэтому .

Стационарное распределение температуры

в бесконечной плоско-параллельной пластинке

Дана бесконечная пластинка толщины , поверхности которых поддерживаются при постоянных температурах и .Она изображена на рис. 16.5. Требуется найти распределение температуры внутри пластинки.

Рис. 16.5.

Запишем (16.1) для этой задачи в виде

Если , из (16.3) следует

После интегрирования (16.4) получим

где - постояная интегрирования. Таким образом, температура меняется с координатой по линейному закону. Константы и находятся из граничных условий. При , а при . Соответственно . Найденные значения и подставим в (16.5) и получим формулу для распределения температуры в пластинке: