Умножение матриц

Произведением матрицы А размерности m p и матрицы В размерности называется матрица С размерности , каждый элемент которой определяется формулой: Таким образом, элемент представляет собой сумму произведений элементов i -й cтроки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В.

Операция перемножения матриц некоммутативна, т.е. Действительно, если существует произведение АВ, то ВА может вообще не существовать из-за несовпадения размерностей. Если существуют и АВ, и ВА, то они могут иметь разные размерности (если ).

Для квадратных матриц одного порядка произведения АВ и ВА существуют и имеют одинаковую размерность, но их соответствующие элементы в общем случае не равны.

Пример 3. Выяснить, можно ли умножить друг на друга матрицы

и .

Если произведение существует, вычислить его.

Решение.

Сравним размерности матриц А и В: A [3×2], B [2×2]. Следовательно, поэтому произведение АВ [3×2] существует, а произведение ВА – нет.

Найдем элементы АВ:

(ab)₁₁ = 0 · 5 + 3 · 7 = 21; (ab)₁₂ = 0 · 6 + 3 · 8 = 24; (ab)₂₁ = 4 · 5 – 2 · 7 = 6;

(ab)₂₂ = 4 · 6 – 2 · 8 = 8; (ab)₃₁ = 1 · 5 – 1 · 7 = -2; (ab)₃₂ = 1 · 6 – 1 · 8 = -2.

Таким образом, , ВА не существует.

Пример 4. Найти АВ и ВА, если

.

Решение.

Проверим возможность перемножения матриц, определив их размерность.

A [2×4], B [4×2]. Следовательно, n = l = 4, m = k = 2, поэтому матрицы АВ и ВА существуют, причем АВ [2×2], BA [4×4].

Для вычисления элементов матрицы С = АВ элементы строк матрицы А умножаются на соответствующие элементы столбцов матрицы В:

с ₁₁ = 2 · 2 + (-2)(-1) + 1 · 1 + 0 · 2 = 9

(сумма произведений элементов первой строки А на элементы первого столбца В; первый индекс вычисляемого элемента задает номер строки А, второй индекс – номер столбца В);

с ₁₂ = 2 · 2 + (-2) · 0 + 1 · 1 + 0 · 4 = 5;

с ₂₁ = -3 · 3 + 1 · (-1) + (-1) · 1 + 1 · 2 = -9;

с ₂₂ = -3 · 2 + 1 · 0 + (-1_ · 1 + 1 · 4 = -3.

Следовательно,

.

При вычислении элементов матрицы D = BA элементы строк В умножаются на элементы столбцов А:

d ₁₁ = 3 · 2 + 2 · (-3) = 0; d ₁₂ = 3 · (-2) + 2 · 1 = -4; d ₁₃ = 3 · 1 + 2 · (-1) = 1;

d ₁₄ = 3 · 0 + 2 · 1 = 2; d ₂₁ = -1 · 2 + 0 · (-3) = -2; d ₂₂ = -1 · (-2) + 0 · 1 = 2;

d ₂₃ = -1 · 1 + 0 · (-1) = -1; d ₂₄ = -1 · 0 + 0 · 1 = 0; d ₃₁ = 1 · 2 + 1 · (-3) = -1;

d ₃₂ = 1 · (-2) + 1 · 1 = -1; d ₃₃ = 1 · 1 + 1 · (-1) = 0; d ₃₄ = 1 · 0 + 1 · 1 = 1;

d ₄₁ = 2 · 2 + 4 · (-3) = -8; d ₄₂ = 2 · (-2) + 4 · 1 = 0; d ₄₃ = 2 · 1 + 4 · (-1) = -2;

d ₄₄ = 2 · 0 + 4 · 1 = 4.

Таким образом,

.