Определить ранг матрицы
.
Решение.
У матрицы А существуют миноры до 4-го порядка включительно, поэтому
r (A) ≤ 4. Разумеется, непосредственное вычисление всех миноров 4-го, 3-го и т.д. порядка потребовало бы слишком много времени. Поэтому, используя элементарные преобразования, приведем матрицу А к треугольному виду. Поменяем местами 1-ю и 2-ю строки, чтобы элемент а 11 стал равным 1:
А ~ .
Прибавим к третьей строке первую, ко второй – удвоенную первую, к четвертой – первую, умноженную на 3. Тогда все элементы 1-го столбца, кроме а 11, окажутся равными нулю:
А ~ .
Вычтем вторую строку полученной матрицы из третьей и четвертой строк:
А ~
и вычеркнем нулевые строки:
А ~ .
Итак, ранг матрицы А равен рангу полученной матрицы размера 2×6, т.е.
r (A) ≤ 2. Минор
следовательно, r (A) = 2.