2015-05-14
473
Определить ранг матрицы
.
Решение.
Единственным минором максимального (3-го) порядка для матрицы А является ее определитель. Если Δ А ≠ 0, r (A) = 3; если Δ А = 0, r (A) < 3.
Найдем Δ А разложением по первой строке:
Следовательно, r (A) < 3. Поскольку матрица А содержит ненулевые элементы, r (A) > 0. Значит, r (A) = 1 или r (A) = 2. Если найдется минор 2-го порядка, не равный нулю, то r (A) = 2.
Вычислим минор из элементов, стоящих на пересечении двух первых строк и двух первых столбцов:
Для матриц большой размерности непосредственное вычисление всех миноров затруднительно. Поэтому в этом случае можно преобразовать матрицу к так называемому треугольному виду (когда элементы, стоящие ниже 
равны 0), воспользовавшись операциями, не изменяющими ранг матрицы (эквивалентными преобразованиями). К ним относятся:
1) транспонирование;
2) умножение строки на ненулевое число;
3) перестановка строк;
4) прибавление к элементам данной строки элементов любой другой строки, умноженных на ненулевое число;
5) вычеркивание нулевой строки.
Действительно, любая из этих операций переводит нулевые миноры в нулевые, а ненулевые – в ненулевые. Матрица, полученная в результате, не равна исходной, но имеет тот же ранг.
