2015-05-14
512
(дополнительное рассмотрение)
Оценим разность 
, где t – любое фиксированное значение в промежутке 
, отличное от узлов интерполирования (таблицы). Предположим, что функция 
в этом промежутке имеет производные всех порядков до (n+1)-го включительно.
Введем в рассмотрение функцию 
- полином степени n.
Построим вспомогательную функцию 
,
где C – const. 
также имеет производные всех порядков до (n+1)-го включительно.
Значение константы С выберем так, чтобы для какого-либо аргумента 
выполнялось 
: 
.
Поскольку 
не совпадает ни с одни узлом, то 
.
Вспомним теорему Ролля.
Если функция 
определена, непрерывна и дифференцируема на промежутке , а на концах промежутка функция принимает равные значения 
, то в промежутке найдется такая точка с (a<c<b), что 
.
На промежутке в точке и в n узлах 
вспомогательная функция n+2 раза обращается в 0, то есть имеет n+1 корень. Эти корни делят промежуток на n отрезков, на концах которых значения 
равны между собой (
). Согласно теореме Ролля на отрезке 1-я производная 
n раз обращается в 0, то есть имеет n корней. Эти корни делят промежуток на n-1 отрезок, на концах которых значения 
равны между собой (
). Поэтому, согласно теореме Ролля на отрезке 2-я производная 
n-1 раз обращается в 0, то есть имеет n-1 корень. Эти корни делят промежуток на n-2 отрезка, на концах которых значения 
равны между собой (
). Поэтому, согласно теореме Ролля на отрезке 3-я производная 
n-2 раза обращается в 0, то есть имеет n-2 корня.
Продолжая, на n шаге получим один корень 
, где 
.
n производная 
от полинома n-1 степени – ноль: 
.
n производная 
от полинома n степени, легко проверить:
.
, откуда найдем
.
Вернемся к точке : ,
,
,
или, поскольку принимает произвольное значение , 
, перейдем к аргументу t
, 
. [9]
Это точное равенство – интерполяционная формула Лагранжа, здесь 2-е слагаемое и есть искомый остаточный член. Оценим его величину.
Пусть число 
на отрезке . Поскольку
, а , то 
,
. Отсюда следует, что величина остаточного члена
.
