Интерполирование по таблице с постоянным шагом

Для таблицы с постоянным шагом значения аргумента образуют арифметическую прогрессию , где h – шаг таблицы. Запишем таблицу в виде двух столбцов . Из каждого значения функции вычтем предыдущее и разность запишем в следующем столбце между теми значениями, из которых получена разность (то есть, ):

Таблица 3

Таблица обыкновенных и центральных разностей

Отметим, что в принятых обозначениях – верхний индекс – порядок разности; нижний индекс – среднее арифметическое индексов функции, из которых разность получена.

В таблице введены центральные разности

, , .

По величине разностей можно судить о том, какой степени интерполяционный полином необходим для достижения точности значений, соответствующей точности узлов таблицы. Если табличная функция допускает приближение полиномом n-й степени, то в этой таблице разности n-го порядка будут почти постоянными. Разности следующего порядка будут пренебрежимо малы.

Отметим, что свойство постоянства n-х разностей справедливо только для таблиц точных значений полиномов. Если значения в узлах таблицы известны с некоторой точностью и погрешность округления равна половине единицы последнего разряда табличного значения функции, то вспомним, что при вычитании двух приближенных чисел абсолютные погрешности складываются. Отсюда погрешность 1-й разности равна единице последнего разряда; погрешность 2-й разности равна 2-м единицам последнего разряда; погрешность 3-й разности равна 4-м единицам последнего разряда и так далее.

Таким образом, из-за неизбежной погрешности округления на практике обычно не следует пользоваться разностями выше 4-5-го порядков.

Будем считать, что разности k-го порядка практически равны нулю, если их сумма и величина каждой из них меньше, чем соответствующая погрешность округления, а знаки стоят в беспорядке или чередуются.

Построение таблицы разностей есть единственный способ выяснить нужную степень интерполяционного полинома, то есть число узлов, необходимое для удовлетворительного приближения.

Проконтролировать вычисление таблицы разностей можно просуммировав сами разности:

Соответственно

и так далее.

Обобщая, имеем: сумма значений в каждом столбце разностей равна разности между последним и первым значениями предыдущего столбца.

Пример построения таблицы обыкновенных и центральных разностей

Пример. Построим таблицу обыкновенных разностей для функции с шагом 1^О на отрезке с точностью до тысячных, определим, какие из них практически равны нулю. Вычисленные разности проконтролируем.