Интерполирование по таблице функции двух аргументов

Функция задана таблицей своих значений; значения заданы с шагом , значения - с шагом . Табличные значения функции – , индекс – для , индекс – для , . Требуется найти значение функции для некоторых и , несовпадающих с узлами таблицы.

Эту задачу можно решить, интерполируя раз по при нескольких табличных значениях одним из методов точечного интерполирования. Так получим таблицу

Теперь осталось найти значение как было сделано выше.

Пример. Задана функция двух переменных

x t	0.340	0.360	0.380	0.400	0.420	0.440
	43.380	44.443	45.540	46.671	47.838	49.037
	49.901	51.038	52.205	53.399	54.620	55.867
	56.185	57.371	58.580	59.810	61.059	62.326
	62.238	63.451	64.681	65.925	67.181	68.447
	68.071	69.294	70.527	71.768	73.015	74.265
	73.697	74.916	76.138	77.363	78.588	79.813

Найти значение функции

Проинтерполируем 6 раз по столбцам и найдем 6 значений функции для :

x t	0.340	0.360	0.380	0.387	0.400	0.420	0.440
	43.380	44.443	45.540	45.932	46.671	47.838	49.037
	49.901	51.038	52.205	52.620	53.399	54.620	55.867
	56.185	57.371	58.580	59.008	59.810	61.059	62.326
	62.238	63.451	64.681	65.115	65.925	67.181	68.447
	68.071	69.294	70.527	70.961	71.768	73.015	74.265
	73.697	74.916	76.138	76.566	77.363	78.588	79.813

Так получим таблицу

x t	0.387
	45.932
	52.620
	59.008
	65.115
	70.961
	76.566

По этой таблице несложно найти значение функции для :

.

Можно проконтролировать вычисления, изменив порядок интерполирования – вначале найти таблицу , а затем . Результат должен быть тем же.

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПО ТАБЛИЦЕ

Интерполяционными формулами как приближением табличной функции можно воспользоваться для приближенного вычисления производной приближаемой функции в произвольной точке. Интерполяционный полином строится обычно для нормированного значения аргумента . Обозначим интерполяционный полином через , а интерполируемую функцию . Тогда

, , , .

Аналогично .

Найдем производные с использованием формулы Стирлинга. Выпишем ее в виде, предшествующем [14]

.

.

. [18]

В простейшем случае, ограничиваясь первыми слагаемыми, имеем

,

; [19a]

,

. [19b]

Если требуется вычисление производных вблизи начала таблицы, то придется использовать формулу Ньютона для интерполирования «вперед» [16]:

,

. [20]

Если требуется вычисление производных вблизи конца таблицы, то придется использовать формулу Ньютона для интерполирования «назад» [17]:

,

. [21]

Пример. Пусть требуется вычислить значение 1-й 2-й производной x при t=0.05 по формуле Стирлинга.

h=0.1, примем t₀=0, поэтому . Из [12]

, .

,

.

Таким образом, можно находить производные m-го порядка. Очевидно, что порядок искомой производной должен быть не больше порядка используемых разностей. Если порядок производной больше табличных разностей, то она тождественно обращается в 0.

содержание