2015-05-14
534
Название метода происходит от латинского слова iteratio, что означает «повторение» (iter - шаг). Заменим уравнение [22] 
эквивалентным ему уравнением 
(канонический вид).
Построим графики обеих частей уравнения 
. Для левой части это, очевидно, прямая x = t, являющаяся биссектрисой первого координатного угла. Для правой части график есть некоторая линия с уравнением 
. Решением уравнения является абсцисса точки пересечения этих графиков. Точек пересечения может быть не одна, а несколько.
Допустим, что каким-либо способом найдено начальное приближение t0. В простейшем методе итераций все дальнейшие приближения строятся по формуле
[23]
Этот процесс называется простой одношаговой итерацией.
Предположим, что значение 
является точным решением уравнения [22], тогда погрешности 
должны быть малыми и по мере итераций уменьшаться. Найдем зависимость между 
и 
. Очевидно
,
, подставим это в [23], получим
учитывая 
и пренебрегая высшими производными,
.
Итак, если 
, то 
и приближение 
будет отстоять от точного решения 
дальше, чем 
. В этом случае нет сходимости последовательности к .
если 
, то 
и можно ожидать, что последовательность , если 
выбрано достаточно близким к , будет сходиться к . Причем, при 
и 
будут иметь одинаковые знаки и сходимость к будет монотонной; при 
и будут иметь разные знаки и сходится к , колеблясь около .
случай 
требует специального рассмотрения.
- точное решение;
- приближенное решение.
Пример. В небесной механике часто приходится решать уравнение Кеплера вида
, где t – угол.
,
,
- итерационный процесс сходится,
в качестве приближенного решения возьмем 
,
Итак, решение =1.1104.
Система 2-х уравнений с двумя неизвестными
предположим, что эту систему можно представить в виде
процесс итераций сходится только в случае, если
Приближенное решение 
можно найти графически как координаты точки пересечения графиков функций 
и 
. Тогда
и т.д.
Пример. Дана система уравнений 
Найти решение.
; 
;
; 
.
Проверим
и
, решение должно сходиться, за исключением точек, где 
и 
, это сомнительные точки.
В качестве нулевого приближения выберем решение
