Название метода происходит от латинского слова iteratio, что означает «повторение» (iter - шаг). Заменим уравнение [22] эквивалентным ему уравнением (канонический вид).
Построим графики обеих частей уравнения . Для левой части это, очевидно, прямая x = t, являющаяся биссектрисой первого координатного угла. Для правой части график есть некоторая линия с уравнением . Решением уравнения является абсцисса точки пересечения этих графиков. Точек пересечения может быть не одна, а несколько.
Допустим, что каким-либо способом найдено начальное приближение t0. В простейшем методе итераций все дальнейшие приближения строятся по формуле
[23]
Этот процесс называется простой одношаговой итерацией.
Предположим, что значение является точным решением уравнения [22], тогда погрешности должны быть малыми и по мере итераций уменьшаться. Найдем зависимость между и . Очевидно
,
, подставим это в [23], получим
учитывая и пренебрегая высшими производными,
.
Итак, если , то и приближение будет отстоять от точного решения дальше, чем . В этом случае нет сходимости последовательности к .
|
|
если , то и можно ожидать, что последовательность , если выбрано достаточно близким к , будет сходиться к . Причем, при и будут иметь одинаковые знаки и сходимость к будет монотонной; при и будут иметь разные знаки и сходится к , колеблясь около .
случай требует специального рассмотрения.
- точное решение;
- приближенное решение.
Пример. В небесной механике часто приходится решать уравнение Кеплера вида
, где t – угол.
,
,
- итерационный процесс сходится,
в качестве приближенного решения возьмем ,
Итак, решение =1.1104.
Система 2-х уравнений с двумя неизвестными
предположим, что эту систему можно представить в виде
процесс итераций сходится только в случае, если
Приближенное решение можно найти графически как координаты точки пересечения графиков функций и . Тогда
и т.д.
Пример. Дана система уравнений
Найти решение.
; ;
; .
Проверим
и
, решение должно сходиться, за исключением точек, где и , это сомнительные точки.
В качестве нулевого приближения выберем решение