2015-05-14
5566
Перед решением задач необходимо, кроме вопросов, изложенных в предыдущей теме, изучить методику расчета нагрузки цифровых АТС [16, стр. 3-10].
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте основные методы расчета возникающей нагрузки на цифровых АТС.
2. Поясните смысл следующих понятий:
Yутр. чнн, Yутр. вр, Yвеч. чнн, Yвеч. вр
3. Как учитывается нагрузка групп абонентов, не имеющих ярко выраженный ЧНН?
4. Как учитывается нагрузка источников, имеющих дневной ЧНН?
5. Как определяется нагрузка на ЗСЛ и на УСС?
Пример решения задачи
ЗАДАЧА
Рассчитать величину возникающей на цифровой АТС нагрузки от абонентов следующих категорий:
Индивидуального пользования Nu = 2000;
Народно - хозяйственного сектора "делового"Nнд = 3000;
Народно -хозяйственного сектора "спального" Nнс = 2000;
Таксофонов местной связи Nт.мест. = 150;
Таксофонов междугородных (исходящая связь) Nт.межд.= 15;
Районных переговорных пунктов (РПП) Nрпп= 40;
Исходящих СП от УАТС (на правах абонентов)Nсл= 40;
Факсимильных аппаратов (соединения по телефонному алгоритму) Nф= 50;
Абонентов ЦСИО с числом доступов:
типа 2B+D = 35;
типа 30B+D=4;
При определении возникающей нагрузки следует учесть нагрузку на ЗСЛ и УСС. Нумерация на сети шестизначная.
Указания к решению задачи
Согласно ВНТП 112 - 99 [16], расчет возникающей нагрузки производится отдельно для утреннего и вечернего ЧНН, после чего среди них выбирается максимальное значение, которое принимается за расчетную нагрузку. Расчет утреннего ЧНН:
,
где
- суммарная нагрузка для всех i категорий абонентов, имеющих максимальный ЧНН - утренний;
,
где
Ni- число источников категории i,
Yi - интенсивность удельной нагрузки абонента i-ой категории (табл. 4.2 [15]);
- добавочная суммарная нагрузка, создаваемая во время утреннего ЧНН, абонентами тех категорий j, которые имеют ЧНН не утренний, а вечерний.
,
где
- суммарная нагрузка (Nj* Yj) для j категорий абонентов, имеющих максимальный ЧНН вечерний.
,
где
Nj- число источников категории j, имеющие вечерний ЧНН;
Yj - интенсивность удельной нагрузки абонента категории j, имеющего вечерний ЧНН (табл. 4.2 [15]);
К - коэффициент концентрации нагрузки (0,1);
Т – период суточной нагрузки (можно принять равным 16 часам);
Тогда окончательно:
,
Аналогично рассчитывается нагрузка в вечерний ЧНН:
,
Если абоненты конкретной категории не имеют ярко выраженного ЧНН. то их нагрузка входит как в Yутр. чнн так и Yвеч. чнн.
Нагрузку, создаваемую таксофонами с дневным ЧНН, следует относить к максимальному ЧНН (утреннему или вечернему).
решение
Исходные данные для расчета берем в таблице 1 [16].
Таблица 1 – исходные данные
| Категория абонентов | Y, Эрл | Время ЧНН |
| 1. Индивидуального пользования | 0,022 0,030 | Утр. ЧНН Веч. ЧНН |
| 2. Народно-хозяйственного «деловой» «спальный» | 0,07 0,03 | Утр. ЧНН, веч. время Веч. ЧНН, утр. время |
| 3. Таксофон местной связи | 0,2 0,27 | Дневной ЧНН Веч. ЧНН |
| 4. Таксофон междугородный | 0,65 0,65 | Дневной ЧНН Веч. ЧНН |
| 5. РПП | 0,6 | Веч. ЧНН, утр. время |
| 6. Исход. СЛ от УАТС (на правах абонентов) | 0,15 | Утр. ЧНН, веч. время |
| 7. Факс по ТЛФ алгоритму | 0,15 | Утр. ЧНН, веч. время |
| 8. Абонент ЦСИО 2B+В 30B+D | 0,5 | Утр. ЧНН, веч. время Утр. ЧНН, веч. время |
Определяем нагрузки для секторов:
Индивидуальный сектор:
Y1 утр чнн. = N1 Y1 = 2000*0,022 = 44 Эрл
Y1 веч чнн. = N1 Y11 = 2000*0,03 = 60 Эрл
Народно - хозяйственный сектор:
"Деловой":
Y2 утр чнн=3000*0,07 = 210 Эрл
Y2веч.вр=210\1,6=131,25 Эрл
"Спальный":
Y2 веч чнн = 2000*0,03 = 60 Эрл
Y 2 утр.ч, = 60/1,6 = 37,5ЭрЛ
Таксофоны местные:
Y 3дн чин = 150*0,2 = 30 Эрл
Таксофоны междугородные:
Y 4н чин = 15*0,65 = 9,75 Эрл
Районные переговорные пункты (РППУ.
Y5 веч чнн = 40*0,6 = 24 Эрл
Y5 утр.вр=24/1,6= 15 Эрл
Исходящие соединительные линии от УАТС:
У6 утр.чнн =40*0,15=6Эрл
Y6 веч.вр = 6/1,6 = 3,75 Эрл
Факсы:
Y7 утр.чнн = 50*0,15 = 7,5 Эрл
Y7 веч чнн = 7,5/1,6 = 4,69 Эрл
Абоненты ЦСИО:
2B+D:
Y 8 утр.чнн = 35*0,5= 17,5 Эрл
Y8 веч.вр = 17,5/1,6 = 10,94 Эрл
30B+D:
Y 9утр.чнн =4*21 = 84 Эрл
Y 9веч.вр = 84/1,6 =52,5 Эрл
В соответствии с изложенной выше методикой определяем Yутр и Yвеч:
Относя нагрузку в дневной ЧНН таксофонов обоих типов к величине Yутр, имеем:
Y утр = 421,5 + 30 + 9,75 = 460,25 Эрл
Нагрузка на ЗСЛ [16, табл. 4.6], учитывая число жителей в городе свыше 106 человек:
Нагрузка на УСС:
Y ycc - 461,25*0,05 = 23,06 Эрл
Таким образом, общая возникающая на АТС расчетная нагрузка равна:
Yp = Yутр + Yзсл + Yусс = 461,25 + 17,4 + 23,06 = 501,71 Эрл
ТЕМА 4. Полнодоступный пучок система с явными потерями. обслуживание простейшего потока вызовов модель m/m/v, к = v
Необходимые сведения по данной теме изложены в [1, стр. 50 - 58], [3, стр. 68 -84].
Контрольные вопросы
1. Дайте определение простейшего потока вызовов.
2. Что понимается под дисциплиной обслуживания - "явные потери"?
3. Как связан параметр простейшего потока вызовов с создаваемой ими нагрузкой?
4. Приведите первую формулу Эрланга. Дайте характеристику входящих в нее величин.
5. Как связаны между собой все виды потерь в данной модели обслуживания?
6. Как определяется нагрузка, обслуженная каждой линией пучка при упорядоченном и случайном режиме искания?
7. Охарактеризуйте область применения первой формулы Эрланга.
Пример решения задачи
задача
На однозвенную полнодоступную КС емкостью v = 10 линий поступает простейший поток вызовов с параметрами λ1= 180, λ2 = 300 вызовов в час. Среднее время обслуживания t = 90 сек. Вызовы обслуживаются в системе с явными потерями. Требуется определить:
Вероятность того, что в произвольный момент времени в системе занято точно i линий (
);
Среднее число занятых линий - М[i];
Построить графики зависимости Pi=f(i);
Потери по вызовам - Рв, нагрузке - Рн, времени - Pt;
Интенсивность нагрузки, обслуживаемой пучком линий.
решение
Вероятности Р, в данной модели определяются первой формулой Эрланга
,
где
Y - интенсивность поступающей нагрузки, Y = λt.
Определим величины Рi для λ1 = 180 Выз/час. Для этого целесообразно воспользоваться рекуррентной формулой:
Поэтому сначала [можно провести расчет по первой формуле Эрланга] определяем вероятность занятости всех линий пучка 
, а далее по формуле (4.1) все остальные значения Pi
Эрл
Аналогично:
Р7 =0,0828; P6 =0,128; Р5 =0,172; Р4=0,189; Р3=0,168; Р2=0,112; Р1=0,05; Р0=0,019;
Среднее число занятых линий:
,
т.е. чаще всего будут встречаться ситуации, когда в системе занято 4 или 5 линий.
Все виды потерь в этой модели равны между собой и равны Pv = Еv(Y)
Рв= Ри=Рt=Рv=Е10(4,5)= 0,0105 (10,5%о).
Интенсивность обслуженной нагрузки:
Y0=Y- Yп=Y-YPн= Y(1-Pн) = 4,5 (1 -0,0105)=4,48 Эрл.
На примере равенства M[i] = Y0 пояснить смысл второго толкования телефонной нагрузки.
Аналогично проводятся расчеты при λ2 = 300. Для сравнения обе кривые зависимости Рi= f(i) совместить на одном рисунке.
тема 5. Полнодоступный пучок система С явными потерями, обслуживание примитивного потока вызовов модель m/m/v, к = v, n
Перед решением задач рекомендуется изучить теоретический материал, изложенный в [1, стр. 69-76], [3, стр. 64-84].
Контрольные вопросы
1. Что понимается под примитивным потоком вызовов?
2. Как определяется параметр примитивного потока?
3. Приведите формулы Энгсета для вероятностей Рi Рв Ри Pt.
4. Покажите, как из формулы Энгсета получить формулы Эрланга и Бернулли.
5. Приведите соотношение между вероятностями Рв, Рн, Рt и Pv.
6. Поясните характер зависимости между интенсивностью поступающей нагрузки, емкостью пучка линий, числом источников нагрузки и вероятностью потерь.
7. Сравните пропускную способность полнодоступного пучка при простейшем и примитивном потоке вызовов. Проиллюстрируйте эту зависимость графически.
Пример решения задачи
ЗАДАЧА
Полнодоступный пучок из v=5 линий обслуживает поток вызовов. Определить нагрузку, которая может поступить на этот пучок при заданной вероятности потерь по вызовам Рв = 5‰ в случае простейшего потока и примитивного потока от n1=10 и n2 =20 источников. По результатам решения задачи сделать выводы.
решение
В задаче предлагается сопоставить по пропускной способности при заданной вероятности потерь по вызовам - Рв две модели обслуживания, которые характеризуются одинаковой дисциплиной обслуживания (явные потери), одинаковой структурой коммутационной системы (однозвенная), одинаковым способом объединения выходов групп коммутационных устройств (полнодоступные) и одинаковым законом распределения времени обслуживания вызовов (экспоненциальным). Отличие состоит только в классе входящего потока вызовов.
В случае простейшего потока, нагрузку поступающую на КС при заданной емкости пучка и потерях определяем по таблицам [Приложение 2]. При v=5 и Рв = 5‰.
Обслуженная нагрузка Y0 = 1,126 Эрл.
Процесс обслуживания примитивного потока однозвенным полнодоступным пучком в системе с явными потерями при экспоненциальном распределении времени обслуживания описывается формулой Энгсета. Для определения пропускной способности пучка целесообразно воспользоваться таблицами [13 или Приложением 3]. Откуда при n = 10 а =0,15 Эрл:
Y= n а =10*0,15 =1,5 Эрл;
Y0 = Y(1 - 0,005) = 1,494 Эрл,
При n = 20 а = 0,0642 Эрл;
Y= n а = 20*0,0642 = 1,284 Эрл;
Y0= 1.278 Эрл.
По результатам решения можно сделать следующие выводы:
Примитивный поток вызовов обслуживается лучше, чем простейший.
С увеличением числа источников нагрузки пропускная способность пучка уменьшается.
С увеличением числа источников нагрузки припускная способность пучка уменьшается, асимптотически стремясь при n →∞ к пропускной способности простейшего потока.
ТЕМА 6. Полнодоступный пучок. система с ожиданием. экспоненциальное время обслуживания вызовов простейшего потока. вторая формула Эрланга. модель M|M|V.
Необходимые сведения по теме содержатся в [1, стр.79-88], [3, стр.84-89].
Контрольные вопросы
1. Что представляет собой система обслуживания с ожиданием?
2. Назовите ограничение на величину поступающей нагрузки в системе с ожиданием?
3. Какие показатели качества обслуживания вызовов используются в системах с ожиданием?
4. Приведите вторую формулу Эрланга. От каких параметров зависят условные потери в этой модели?
5. Охарактеризуйте функцию распределения времени ожидания начала обслуживания.
6. Укажите рациональную область применения систем с ожиданием.
Пример решения задачи
задача
На полнодоступный пучок емкостью V=10 линий поступает простейший поток вызовов с параметром λ1=180выз/чac и λ2=300выз/чac. Время обслуживания распределено по экспоненциальному закону, средняя величина которого t = 90с. Постоянная обслуживания β=1. Допустимое время ожидания начала обслуживания t∂ =90c. Требуется определить:
Вероятность потерь по времени – Рt;
Вероятность занятия всех линий пучка - Ру;
Вероятность потерь по вызовам - Рв;
Вероятность того, что время ожидания начала обслуживания превысит t-P(γ>t);
Среднее время ожидания начала обслуживания по отношению к любому вызову М[γ];
Среднее время ожидания начала обслуживания по отношению к задержанному вызову – M[γз];
Среднюю длину очереди - М[ j];
Вероятность того, что длина очереди превысит один вызов - P(j > 1).
решение
Вероятность потерь по времени - Pt можно определить по формуле
где Y - интенсивность поступающей нагрузки
(Эрл)
Значение функции распределения начала обслуживания Р(у > t) по формуле (5.13) [1]:
,
где t - допустимое время ожидания начала обслуживания в относительных единицах 
;
Тогда 
= 0,0189е-(10-4,5) = 0,000237= 0,237 * 10-3
Следовательно, из миллиона обслуженных вызовов 273 вызова будут ждать начала обслуживания время большее одной относительной единицы (90с).
Среднее время ожидания начала обслуживания в относительных единицах для любого вызова
;
В абсолютных единицах 
c.
Среднее время ожидания начала обслуживания в относительных единицах для задержанных вызовов
;
В абсолютных единицах 
с.
Средняя длина очереди 
Вероятность того, что в очереди более n вызовов, определяется по формуле:
Тогда
Расчет характеристики системы обслуживания при λ2=300 выз/час проводится аналогично. По результатам решения задачи провести сравнение показателей качества обслуживания при λ1=180 выз/час и λ2=300 выз/час.
ТЕМА 7. Полнодоступный пучок. Система с ожиданием. Постоянное время обслуживания вызовов простейшего потока. Теория Кроммелина. Формула Полячека-Хинчина модели M|D|V, M|D|1
Необходимые сведения по теме содержатся в [1] стр. 88-98, [2] стр. 175-180, [3] стр. 90-93.
Контрольные вопросы
1. В чем заключается сущность теории Кроммелина?
2. Сопоставьте характер распределения времени ожидания и пропускную способность систем с ожиданием для двух распределений длительности занятия: постоянного и показательного.
3. Приведите формулу Полячека-Хинчина и поясните физический смысл входящих в нее величин.
4. Преобразуйте формулу Полячека-Хинчина применительно к моделям М|М|1 иМР|1.
5. Проиллюстрируйте графически зависимость Р(у > t) = f(t) для модели обслуживания М|М|1 и M|D|1.
Пример решения задачи
ЗАДАЧА
На блок ГИ АТСКУ, обслуживаемый одним маркером (V=1), поступает нагрузка Y=40 Эрл. Средняя длительность занятия входа блока составляет tвх=120с. Длительность обслуживания маркером одного вызова постоянна и составляет h = 0,6с. Допустимое время ожидания начала обслуживания td=1,2c. Определить:
Вероятность того, что вызов будет задержан Р(γ > 0);
Вероятность того, что время ожидания начала обслуживания превысит t-P(γ > t);
Среднее время ожидания начала обслуживания для любого вызова -М[γ];
Среднее время ожидания начала обслуживания для задержанного вызова -М[γз];
РЕШЕНИЕ
Процесс обслуживания маркером поступающих вызовов можно рассматривать как математическую модель обслуживания простейшего потока однолинейным пучком, работающим по системе с ожиданием при случайной выборке вызовов из очереди. Эта модель исследована Берком и получены результаты в виде функции распределения времени ожидания Р(γ > t) в зависимости от нагрузки поступающей на маркер - η и допустимого времени ожидания начала обслуживания.
По полученной зависимости построены кривые (кривые Берка) [2, стр.178 или Приложение 4]. Для определения величины η воспользуемся следующей формулой
Эрл.
Нагрузка, поступающая на маркер, меньше 1 Эрл, следовательно, маркер с обслуживанием такой нагрузки справится. Допустимое время ожидания выражается в относительных единицах:
По кривым Берка определяем Р(γ > 0) = 0,2; Р(γ > 2) = 0,002, т.е. 20% всех поступивших вызовов обслуживается с ожиданием; 0,2% вызовов обслуживаются с временем ожидания свыше 1,2 с.
Среднее время ожидания начала обслуживания определяется по формуле Полячека-Хинчина. Применительно к данной модели они имеют следующий вид:
; 
;
Тогда эта величина в относительных единицах:
; 
;
В абсолютных единицах М[γ] = 0,125 · 0,6 = 0,075 с;
М[γ3] = 0,625 · 0,6 = 0,375 с.
Такое время ожидания начала обслуживания для абонента является вполне приемлемым.
