Частные производные высших порядков. f xx, f xy, f yx, f yy. Здесь f xy, f yx называются смешанными производными и они равны между собой

Пусть функция f = f(x;y). Тогда производная второго порядка:

// // // // // //

f xx, f xy, f yx, f yy. Здесь f xy, f yx называются смешанными производными и они равны между собой.

3 2 2 2

Пример. Дана функция z = 2x + xy+ y + 5x.

Найти частные производные второго порядка…

…либо минимальных затрат.

Например, для функции f = f(х;у) max или min находятся по следующей схеме:

находим частные производные и приравниваем их к нулю:

/ /

f (x) = 0, f (y) = 0;

2) находим из этой системы х и у;

найденную точку с координатами (х; у), подозрительную на экстремуме, проверяют на достаточное условие экстремума в виде:

// //

fxx fxy

= // //

fyx fyy

Если > 0, то экстремум существует, если < 0, не существует.

Причем, если // // // //

fxx > 0, fyy > 0, то min; fxx < 0, fyy < 0, то max.

Пример. Машиностроительная фирма производит 2 вида транспортных средств: автобусы и автомобили в количестве х и у соответственно. В условиях конкуренции цены на них устанавливаются рынком и равны на автобус 18 тыс. у.е., на автомобиль 12 тыс. у.е.

Функция общих издержек фирмы составляет 2 2

С = 2х + ху + 2у.

Найти оптимальное количество выпуска 2-х видов транспорта при максимуме прибыли фирмы.

Решение. Функция дохода D = 18000х + 12000у.

Конечная прибыль фирмы – разница между общим доходом и издержками фирмы.

2 2

Z = D – C = 18000x + 12000e – 2x – xy – 2y.

/

Zx = 18000 – 4x – y = 0 48000 – 4x – 16y = 0

/

Zy = 12000 – x – 4y = 0 30000 – 15y = 0

у = 2000 шт. (автомобилей).

18000 – 4х – 2000 = 0

х = 4000 шт. (автобусов).

// / // /

2. Z xx = (18000 – 4x – y)x = -4 Zxy = (18000 – 4x – y)y = -1

// /

Z yy = (12000 – x – 4y)y = -4

-4 -1

D = -1 -4 = 16 – 1 = 15 > 0.

Экстремум существует, причем т.к. Zxx < 0 и Zyy < 0 cmax.