Кинетическая и потенциальная энергия

В классической физике полную механическую энергию системы можно представить в виде двух слагаемых

E = T + U. (1.49)

Часть механической энергии T, зависящая от скорости движения тел в пространстве, называется кинетической энергией. Другая часть механической энергии U, зависящая от взаимного расположения тел т.е. от конфигурации системы, называется потенциальной энергией.

В классической механике выражение для кинетической энергии материальной точки и поступательного движения абсолютно твердого тела имеет вид

T = m υ²/2. (1.50)

Если тело вращается вокруг неподвижной оси, то его кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий всех материальных точек, на которые это тело можно мысленно разбить

Поскольку линейная скорость i - й точки u _i = w r_i, где r_i – расстояние от этой точки до оси вращения, а w - угловая скорость тела, то

. (1.51)

В данной формуле I_z есть момент инерции тела относи- тельно оси вращения. Следовательно, кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется по аналогии с кинетической энергией поступа- тельного движения, только вместо массы фигурирует момент инерции, а вместо линейной скорости – угловая.

В общем случае движение твердого тела можно предста-

вить в виде двух движений – поступательного со скоростью, равной скорости движения центра масс тела u _c, и вращения с угловой скоростью w вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс. При этом полная кинетическая энергия будет равна

, (1.52)

где I_c – момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр масс; u _c – скорость центра масс.

Для получения однозначной зависимости потенциальной энергии системы от ее конфигурации U(x, y, z), необходимо выбрать, так называемую, нулевую конфигурацию (нулевой уровень), в котором потенциальную энергию системы условно считают равной нулю. Потенциальная энергия системы в произвольном состоянии равна работе, совершаемой всеми действующими на систему консервативными силами при переводе системы из рассматриваемого состояния в состояние соответствующее нулевой конфигурации. Таким образом, убыль потенциальной энергии равна работе консервативных сил

dA = - dU или A12 = - ΔU. (1.53)

Формула (1.53) дает возможность найти выражение потенциальной энергии U для любого стационарного поля консервативных сил. Для этого достаточно вычислить работу, совершаемую консервативными силами поля между двумя состояниями, и представить ее в виде убыли потенциальной энергии. Конкретный вид функции U(x,y,z) зависит от характера силового взаимодействия. Так, потенциальная энергия в поле силы тяжести равна U = mgh, а потенциальная энергия упруго деформированного тела (например, пружины) равна U = kx²/2, где k – коэффициент упругости, а x – абсолют- ная деформация.

Зная вид функции U(x,y,z) можно найти силу, действующую на частицу в каждой точке поля,

, (1.54)

где - частные производные от функции U(x,y,z),

- оператор набла.

Выражение читается как « градиент U ». Таким образом, консервативная сила, действующая на частицу, равна градиенту потенциальной энергии, взятому с обратным знаком .