Z-преобразование
Z- преобразование является обобщением дискретного преобразования Фурье. Z-преобразованием называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временно́й области, в аналитическую функцию комплексной частоты. Если сигнал представляет импульсную характеристику линейной системы, то коэффициенты Z-преобразования показывают отклик системы на комплексные экспоненты E(n) = z − n = r − ne − iωn, то есть на гармонические осцилляциии с различными частотами и скоростями нарастания/затухания
Свойства Z-преобразования
Важнейшим свойством z-преобразования является свойство его единственности. Любая последовательность s(k) однозначно определяется z-изображением в области его сходимости, и наоборот, однозначно восстанавливается по z-изображению. Без углубления в теорию, можно констатировать, что все свойства ДПФ действительны и для z-преобразования. Отметим некоторые из них.
Линейность: Если s(k) = a·x(k)+b·y(k), то S(z) = aX(z)+bY(z). Соответственно, z-преобразование допустимо только для анализа линейных систем и сигналов, удовлетворяющих принципу суперпозиции.
Задержка на n тактов: y(k) = x(k-n).
Y(z) = y(k) zk = x(k-n) zk =zn x(k-n) zk-n = zn x(m) zm = zn X(z).
Соответственно, умножение z-образа сигнала на множитель zn вызывает сдвиг сигнала на n тактов дискретизации.
Преобразование свертки. При выполнении нерекурсивной цифровой фильтрации односторонними операторами фильтров:
s(k) = h(n) y(k-n), k = 0, 1, 2, …
Z-преобразование уравнения свертки:
S(z) = h(n) y(k-n) zk = h(n) zn y(k-n) zk-n =
= h(n) zn y(k-n) zk-n = H(z) Y(z).
Таким образом, свертка дискретных функций отображается произведением z-образов этих функций. Аналогично, для z-преобразования могут быть доказаны все известные теоремы о свойствах z-образов, что вполне естественно, т.к. при z=exp(-j) эти свойства полностью эквивалентны свойствам спектров функций.
Разложение сигналов на блоки последовательной свертки. Z-преобразование позволяет производить разложение сигналов и функций, например передаточных функций фильтров, на короткие составляющие операции свертки, для чего достаточно приравнять z-полином к нулю, найти его корни ai, и переписать полином в виде произведения двучленов:
S(z) = a0(z-a1)(z-a2)...,
где а0- последний отсчет сигнала (коэффициент при старшей степени z).
Но произведению в z-области соответствует свертка в координатной области, и при обратном преобразовании двучлены (z-ai) превращаются в двухточечные диполи {-ai,1}, а сигнал длиной N представляется сверткой (N-1) диполей:
sk= a0{-a1,1}*{-a2,1}*{-a3,1}*...
Дифференцирование. Если имеем s(k) «S(z), то z-образ функции ks(k) можно найти, продифференцировав S(z), что бывает полезно для вычисления обратного z-преобразования функций S(z) с полюсами высокого порядка:
ks(k) «z dX(z)/dz.