ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 «ДИСКРЕТИЗАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ И ИХ ВОССТАНОВЛЕНИЕ»
Цель и задачи лабораторной работы
Целью лабораторной работы является исследование процессов дискретизации и восстановления непрерывных сигналов.
Задачами лабораторной работы является закрепление теоретического материала о понятиях дискретизации непрерывных сигналов, интерполяции, теоремы Котельникова и построение временных диаграмм сигналов различной формы.
Теоретическая часть
Все непрерывные сигналы, которые нужно передавать, отображают реальные физические процессы и представляют собой функции с финитным (строго ограниченным по ширине) или близким к этому спектром (основная часть спектра сосредоточена в ограниченной полосе частот).
При дискретизации непрерывных сигналов во времени используют теоретическое положение, сформулированное В.А.Котельниковым в теореме отсчетов. Любой непрерывный сигнал может быть представлен отдельными дискретными отсчетами. Смысл теоремы Котельникова состоит в том, что если требуется передавать сигнал, описываемый функцией с ограниченным спектром, то достаточно передавать его отдельные мгновенные значения, взятые через равные интервалы времени:
|
|
где Fв (Fm) – верхняя частота спектра (максимальная частота спектра);
– интервал дискретизации.
Это позволяет представить любой непрерывный сигнал x (t) в виде ряда Котельникова:
где , – момент взятия отсчета.
Отсчет – короткий импульс, длительностью и равный мгновенному значению непрерывного сигнала в момент . Каждый член ряда выражается одинаковой функцией вида (функция отсчетов) и отличается друг от друга коэффициентом, пропорциональным ординате отсчета . Особенностью ряда является то, что в моменты значения ряда определяются только k -ым членом разложения, т.к. все другие члены ряда в этот момент обращаются в ноль:
Процесс замены непрерывного сигнала на дискретные отсчеты называется дискретизацией. Величина, обратная интервалу дискретизации
fд = 1/∆t, называется частотой дискретизации. Теорема Котельникова может иметь другое условие: fд ≥ 2Fв – частота дискретизации должна быть как минимум вдвое выше верхней частоты спектра сигнала.
Если спектр сигнала находится в полосе частот ∆F = fв - fн, не включая нулевых частот, то правило дискретизации Котельникова выглядит так: fд ≥ 2∆F.
Первая форма записи теоремы Котельникова [3].
Существо теоремы следующее. Функцию S(t) с финитным (ограниченным) спектром можно точно восстановить (интерполировать) по ее отсчетам , взятым через интервалы , где F— верхняя частота спектра функции. Это осуществляется с помощью ряда Котельникова:
|
|
Где в качестве интерполирующих функций используются функции отсчетов:
Эти функции представляют собой весовую или импульсную характеристику идеального ФНЧ. Передаточная функция идеального ФНЧ (рисунок 3.2):
Рисунок 4.1 – Передаточная функция идеального ФНЧ
Процесс восстановления сигнала рядом Котельникова отражен на рисунке 4.2 Функция при и равна 0 в момент дискретизации ,где , где принимает целочисленные значения (кроме ).
Если допустить, что сигнал S(t) имеет конечную длительность Т и ширину спектра F, то для его представления потребуется независимых отсчетов.
Рисунок 4.2 – Процесс восстановления рядом Котельникова
Процесс дискретизации непрерывной функции и ее восстановления по дискретной последовательности отсчетов иллюстрируется рисунке 4.3:
Рисунок 4.3 - Процесс дискретизации непрерывной функции и ее восстановления
Таким образом, по дискретной последовательности отсчетов функции можно абсолютно точно восстановить исходную непрерывную функцию X(t), если отсчеты брались с интервалом .
Это говорит о том, что не существует принципиальных различий между непрерывными и дискретными сигналами. Из любого непрерывного сигнала с ограниченным спектром можно взять его отсчеты в дискретные моменты времени, а затем по этим отсчетам абсолютно точно восстановить исходный непрерывный сигнал. При этом, для абсолютно точного восстановления сигнала, не нужно брать отсчеты бесконечно часто, достаточно, чтобы соблюдалось условие .