Для расчета дисперсий D(a) и D(в) коэффициентов регрессии а и в в формулах (9) использовалась дисперсия σ2 случайного члена ε. Эта дисперсия неизвестна, но ее можно оценить, используя выборочные данные. Можно доказать, что несмещенной оценкой дисперсии σ2 является величина S2, где:
(10)
Величина S называется стандартной ошибкой регрессии. Она служит мерой разброса зависимой переменной около линии регрессии. Запишем в формулах (9) дисперсию σ2 ее оценкой S2:
(11)
и называют оценками дисперсии коэффициентов регрессии, а величина Sa и Sв – стандартными ошибками коэффициентов регрессии. Они используются для построения доверительных интервалов, которым принадлежат параметры истинной регрессии и для проверки значимости коэффициентов регрессии.
Прогнозирование на основе эконометрических моделей является одной из основных задач эконометрики.
Под прогнозированием в эконометрике понимают построение оценки зависимой переменной для таких значений независимых переменных, которых нет в исходных наблюдениях.
Различают точечное прогнозирование и интервальное.
Точечный прогноз это число, значение зависимой переменной, вычисляемое для заданных значений независимых переменных.
Интервальный прогноз это интервал, в котором с заданным уровнем значимости (с заданной вероятностью) находится истинное значение зависимой переменной для заданных значений независимых переменных.
Рассмотрим парную линейную регрессионную модель и соответствующее выборочное уравнение регрессии . Обозначим через ур истинное значение переменной у для заданного значения независимой переменной хр, т.е. .
Точечным прогнозом для ур является , т.е. чтобы получить точечный прогноз нужно в построенное уравнение регрессии подставить заданное значение независимой переменной.
Ошибкой предсказания () называют разность между прогнозным и истинным значениями независимой переменной.
Можно доказать, что дисперсия ошибки предсказания
. (21)
Из (21) следует, что чем ближе заданное значение независимой переменной к тем меньше дисперсия прогноза и чем больше объем выборки n, тем меньше дисперсия прогноза.
Заменив в (21) дисперсию на ее оценку , извлечем, квадратный корень и получим стандартную ошибку предсказания .
(22)
Выберем уровень значимости α и по таблице распределения Стьюдента найдем tкр. Тогда с вероятностью 1- α истинное значение переменной ур будет находится внутри интервала:
(23)
Очевидно, что чем ближе к и чем больше n, тем уже доверительный интервал (тем точнее прогноз). Это надо учитывать, выбирая прогнозные значения для независимой переменной.