Временные ряды. Варианты индивидуальных заданий

Варианты индивидуальных заданий

Задача 1. По территориям региона приводятся данные за 199X г. (см. таблицу своего варианта).

Требуется:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии от .

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью -критерия Фишера и -критерия Стьюдента.

4. Выполнить прогноз заработной платы при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума , составляющем 107% от среднего уровня.

5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

6. На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую.

Вариант 4

Номер региона	Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб.,	Среднедневная заработная плата, руб.,

1.Рассчитаем параметры уравнения парной регрессии

y^=a+b*x для этого воспользуемся формулой

a= -b* , b=

cov(x,y)= - * , -

Получим b = = = =0,900682

a= -b* =64,20747

	x	y	x*y	x^2	y^2	yшляпа
						138,9641
						143,4675
						131,7586
						144,3681
						140,7654
						135,3613
						137,1627
						151,5736
						135,3613
						145,2688
						139,8647
						165,0838
сумма
сред знач	86,83333	142,4167	12447,25	7629,667	20399,92
cov(x,y)	80,73611
Q2x	89,63889
b	0,900682
a	64,20747

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

rxy=b* = 0,900682* =0,786987

близость коэффициента корреляций к 1 указывает на тесную связь между признаками

коэффициент детерминаций rxy^2=0,619349

показывает, что уравнение регрессий объясняется 61,9 % дисперсий результативного признака, а на долю прочих факторов приходится 38,1%

F- критерия Фишера

F= *(n-2)=16,27075

t- критерий Стьюдента

= = 49883,45

mb= = = =6.81

ma=Sост* = * =223.34*805.87=179985.18

mr= = =0.19

фактические значения статистик

tb= = =0.132

ta= =0.00035

tr= =4.1

Табличное значение t критерия Стьюдента при а=0.05 и числе степеней свободы v=n-2=10,есть tтабл= 2.447. Так как tb<tтабл, ta<tтабл, tr>tтабл, то признаём статическую значимость параметров регрессий и показателя тесноты связи.

Средняя ошибка аппроксимаций

A= *100%=3.44

Говорит о хорошем качестве уравнения регрессий, т.е. свидетельствует о хорошем подборе модели к исходным данным.

xр=1.07*xср=1*86.8=92.8

yшлr=a+b*xr=64.02+0.9*92.8=147.54

Значит при заработной плате в 147.54 среднедушевой прожиточный минимум будет 92.8

5. Найдём доверительный интервал прогноза

MyшлR=Sост* + = + =234.5

	x	y	x*y	x^2	y^2	yшляпа	y-yшл	(y-yшл)^2	A
						138,9641	-1,96405	3,857505	3,443935
						143,4675	-1,46746	2,153445
						131,7586	-3,7586	14,12707
						144,3681	-4,36814	19,08068
						140,7654	-7,76542	60,3017
						135,3613	17,63867	311,1228
						137,1627	4,83731	23,39957
						151,5736	2,426402	5,887428
						135,3613	-3,36133	11,29851
						145,2688	4,731174	22,38401
						139,8647	-7,86474	61,85406
						165,0838	0,916176	0,839378
сумма						1002,718	706,2822	498834,5
сред знач	86,83333	142,4167	12447,25	7629,667	20399,92	83,55982	58,85685	41569,54
cov(x,y)	80,73611
Q2x	89,63889	117,4097
b	0,900682
a	64,20747
Q	9,467782	10,83558
rxy	0,786987
rxy^2	0,619349
F	16,27075
Sост^2	49883,45

Множественная регрессия и корреляция

По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих (%) (смотри таблицу своего варианта).

Требуется:

1. Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.

2. Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.

3. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.

4. С помощью -критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации .

5. С помощью частных -критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после .

6. Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.

Вариант 4

Номер предприятия		Номер предприятия
	3,5		6,3
	3,6		6,5
	3,9		7,2
	4,1		7,5
	4,2		7,9
	4,5		8,2
	5,3		8,4
	5,5		8,6
	5,6		9,5
	6,1		9,6

№	y	x1	x2	yx1	yx2	x1x2	x1^2	x2^2	y^2
		3,5		24,5		31,5	12,25
		3,6		25,2			12,96
		3,9		27,3		46,8	15,21
		4,1		28,7		69,7	16,81
		4,2		33,6		75,6	17,64
		4,5				85,5	20,25
		5,3		47,7		100,7	28,09
		5,5		49,5			30,25
		5,6				117,6	31,36
		6,1				128,1	37,21
		6,3				138,6	39,69
		6,5					42,25
		7,2		79,2		172,8	51,84
		7,5				187,5	56,25
		7,9		94,8		213,3	62,41
		8,2		106,6			67,24
		8,4		109,2		260,4	70,56
		8,6		120,4		283,8	73,96
		9,5				332,5	90,25
		9,6				345,6	92,16
сумма				1394,7			868,64
средн зн	10,3	6,3	22,55	69,735	250,8	156,25	43,432	565,55	112,5

Найдем средние квадратические отклонения признаков:

Qy= - = =2.531

Qx1= - = 6,3^2=1,934

Qx2= - = =7,552

1. Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.

Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии

необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров , , :

либо воспользоваться готовыми формулами:

; ;

Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:

cov(y;x1)= - * = 69,735-10,3*6,3=4,845

cov(y;x2)= - * = 250,8-10,3*22,55=18,535

cov(x1;x2)= - * = 156,25-6,3*22,55=14,185

= = =0,989

= =0,969

= =0,971

Находим

= * =1,308* =1,101

= * =0,335* =0,047 =10,3-1,101*6,3-0,047*22,55=10,3-6,936-1,059=2,305

Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:

Yшл=2,305+1,101*x1+b2*x2

Коэффициенты и стандартизованного уравнения регрессии находятся по формулам:

B1=b1 =1,101* =0,841

B2=b2 =0,047* =0,140

Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:

tшлY=0,841* +0,140*

Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.

Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:

Вычисляем:

=1,101* =0,67 =0,047* =0,10

Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,67% или 0,10% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат фактора , чем фактора .

2. Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:

=0,989 0,969 0,971

Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы и явно коллинеарны, т.к 0,971>0,7). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.

При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:

= = =3,42

= = =0,258

Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.

Коэффициент множественной корреляции определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:

где

– определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

– определитель матрицы межфакторной корреляции.

= =1

= =0,057

Коэффициент множественной корреляции

= = 0,996

Нескорректированный коэффициент множественной детерминации

3. =0,988 оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет 98,8% и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами – на весьма тесную связь факторов с результатом.

Скорректированный коэффициент множественной детерминации

= 1 – (1- ) =1 – (1 – 0,988) =0,987

определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую (более 98%) детерминированность результата в модели факторами и .

Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи дает -критерий Фишера:

В нашем случае фактическое значение -критерия Фишера:

= * =645,34

Получили, что > (при ), т.е. вероятность случайно получить такое значение -критерия не превышает допустимый уровень значимости . Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи .

4. С помощью частных -критериев Фишера оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после при помощи формул:

;

Найдем и

=0,989^2=0,978

=0,969^2=0,938

Имеем

= * =19,295

= * =1,368

Получили, что . Следовательно, включение в модель фактора после того, как в модель включен фактор статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака оказывается незначительным, несущественным; фактор включать в уравнение после фактора не следует.

Если поменять первоначальный порядок включения факторов в модель и рассмотреть вариант включения после , то результат расчета частного -критерия для будет иным. , т.е. вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта . Следовательно, значение частного -критерия для дополнительно включенного фактора не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора является существенным. Фактор должен присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора .

5. Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами и с =0,988 содержит неинформативный фактор . Если исключить фактор , то можно ограничиться уравнением парной регрессии:

=0,978

Временные ряды

Требуется:

1. Построить автокорреляционную функцию и сделать вывод о наличии сезонных колебаний.

2. Построить аддитивную модель временного ряда (для нечетных вариантов) или мультипликативную модель временного ряда (для четных вариантов).

3. Сделать прогноз на 2 квартала вперед.

Варианты 3, 4


5,5		8,0
4,6		5,6
5,0		6,4
9,2		10,9
7,1		9,1
5,1		6,4
5,9		7,2
10,0		11,0
t	yt	yt-1	yt-yшл1	yt-1-yшл2	d1*e1	(yt-yшл1)^2	(yt-1-yшл2)^2
	5,5	-	-	-	-	-	-
	4,6	5,5	-2,7125	-1,56667	4,249583	7,357656	2,454444
		4,6	-2,3125	-2,46667	5,704167	5,347656	6,084444
	9,2		1,8875	-2,06667	-3,90083	3,562656	4,271111
	7,1	9,2	-0,2125	2,133333	-0,45333	0,045156	4,551111
	5,1	7,1	-2,2125	0,033333	-0,07375	4,895156	0,001111
	5,9	5,1	-1,4125	-1,96667	2,777917	1,995156	3,867778
		5,9	2,6875	-1,16667	-3,13542	7,222656	1,361111
			0,6875	2,933333	2,016667	0,472656	8,604444
	5,6		-1,7125	0,933333	-1,59833	2,932656	0,871111
	6,4	5,6	-0,9125	-1,46667	1,338333	0,832656	2,151111
	10,9	6,4	3,5875	-0,66667	-2,39167	12,87016	0,444444
	9,1	10,9	1,7875	3,833333	6,852083	3,195156	14,69444
	6,4	9,1	-0,9125	2,033333	-1,85542	0,832656	4,134444
	7,2	6,4	-0,1125	-0,66667	0,075	0,012656	0,444444
		7,2	3,6875	0,133333	0,491667	13,59766	0,017778
сумма			1,8125	-1,1E-14	10,09667	65,17234	53,95333
сред знач	7,3125	7,066667	-	-	-	-	-

= = =0,170

Автокорреляция второго порядка

t	yt	yt-2	yt-yшл3	yt-2-yшл4	d1*e1	(yt-yшл3)^2	(yt-2-yшл4)^2
	5,5	-	-	-	-	-	-
	4,6	-	-	-	-	-	-
		5,5	-2,3125	-1,55714	3,600893	5,347656	2,424694
	9,2	4,6	1,8875	-2,45714	-4,63786	3,562656	6,037551
	7,1		-0,2125	-2,05714	0,437143	0,045156	4,231837
	5,1	9,2	-2,2125	2,142857	-4,74107	4,895156	4,591837
	5,9	7,1	-1,4125	0,042857	-0,06054	1,995156	0,001837
		5,1	2,6875	-1,95714	-5,25982	7,222656	3,830408
		5,9	0,6875	-1,15714	-0,79554	0,472656	1,33898
	5,6		-1,7125	2,942857	-5,03964	2,932656	8,660408
	6,4		-0,9125	0,942857	-0,86036	0,832656	0,88898
	10,9	5,6	3,5875	-1,45714	-5,2275	12,87016	2,123265
	9,1	6,4	1,7875	-0,65714	-1,17464	3,195156	0,431837
	6,4	10,9	-0,9125	3,842857	-3,50661	0,832656	14,76755
	7,2	9,1	-0,1125	2,042857	-0,22982	0,012656	4,173265
		6,4	3,6875	-0,65714	-2,42321	13,59766	0,431837
сумма		98,8	4,525	-1,1E-14	-29,9186	57,81469	53,93429
сред знач	7,3125	7,057143	-	-	-	-	-

Вычисление коэффициента второго порядка

= = =0,5357

t	yt	yt-2	yt-yшл4	yt-3-yшл4	d1*e1	(yt-yшл3)^2	(yt-3-yшл5)^2
	5,5	-	-	-	-	-	-
	4,6	-	-	-	-	-	-
		-	-	-	-	-	-
	9,2	5,5	1,8875	-1,60769	-3,03452	3,562656	2,584675
	7,1	4,6	-0,2125	-2,50769	0,532885	0,045156	6,288521
	5,1		-2,2125	-2,10769	4,663269	4,895156	4,442367
	5,9	9,2	-1,4125	2,092308	-2,95538	1,995156	4,377751
		7,1	2,6875	-0,00769	-0,02067	7,222656	5,92E-05
		5,1	0,6875	-2,00769	-1,38029	0,472656	4,030828
	5,6	5,9	-1,7125	-1,20769	2,068173	2,932656	1,458521
	6,4		-0,9125	2,892308	-2,63923	0,832656	8,365444
	10,9		3,5875	0,892308	3,201154	12,87016	0,796213
	9,1	5,6	1,7875	-1,50769	-2,695	3,195156	2,273136
	6,4	6,4	-0,9125	-0,70769	0,645769	0,832656	0,500828
	7,2	10,9	-0,1125	3,792308	-0,42663	0,012656	14,3816
		9,1	3,6875	1,992308	7,346635	13,59766	3,96929
сумма		92,4	6,8375	-8E-15	5,306154	52,46703	53,46923
сред знач	7,3125	7,107692	-	-	-	-	-