Общая схема проверки гипотез. Ошибки I, II рода

Под гипотезой понимается некоторое утверждение, относящееся к генеральной совокупности. Обычно выдвигаются 2 гипотезы: одна- нулевая гипотеза, которая принимается, когда нет убедительных оснований для ее отклонения, и другая- альтернативная гипотеза, которая принимается, когда есть существенные причины для

отвержения нулевой гипотезы.

Обычную схему проверки гипотез рассмотрим на примере гипотезы о равенстве матем ожид μ случвеличины х~N(μ,σ²) некоторому заданному значению μ0. Будем считать, что дисперсия σ² неизвестна. Сформулируем 2 гипотезы: Н0:μ=μ0 – основная гипотеза

Н1:μ≠μ0 – альтернативная гипотеза

Для выборки х1,х2,….,хn среднее хср, яв-ся несмещенной и эффективной оценкой мат ожид μ, причем х~N(μ, σ²/n).

Смысл проверки гипотез состоит в том, что если оценка μ, в данном случае равная хср, достаточно удалена от μ0, то основная гипотеза Н0 должна быть отвергнута в пользу альтернативной гипотезы Н1.

Выберем положительное число δ. Обычно берут значения 0,05 и 0,01. В условиях гипотезы Н0 имеем хср~N(μ0,σ²/n) и тогда линейное преобразование дает:

z=(xcp-μ0)/(σ/√n)~N(0,1)

Возможны 2 ситуации. В первой ситуации имеет место неравенство:│xcp-μ0/(σ/√n)│>z_c

Это значит, что происходит маловероятное, практически невозможное событие. Гипотеза Н0 отклоняется, и принимается гипотеза Н1.

Во второй ситуации имеет место неравенство:

│xcp-μ0/(σ/√n)│≤ z_c

Вероятность этого события равна 1-δ, т е близка к 1. Так как это событие вполне вероятное, гипотеза Н0 не отвергается, а принимается.

Ошибка 1 рода возникает, когда отвергается истинная гипотеза. Ошибка 2 рода возникает, когда не отвергается ложная гипотеза.

При уменьшении δ критическая область сужается, следовательно увеличивается вероятность принятия ложной гипотезы Н0, т е возрастает риск ошибки 2 рода. А при увеличении δ критическая область расширяется, и возрастает вероятность отвержения истинной гипотезы Н0, растет риск ошибки 1 рода.