Интервальные оценки для нормального распределения при неизвестной дисперсии

Интервальное оценивание предполагает построение интервала, в котором с наперед заданной вероятностью содержится истинное значение оцениваемого параметра. Пусть оценивается какой-либо параметр Ө. Доверительным интервалом наз-ся интервал [Ө1,Ө2], который с заданной вероятностью 1-δ накрывает истинное значение этого параметра. Величина δ обычно выбирается равной 0.1, или 0.05, или 0.01, что соответствует 90, 95, 99-процентным доверительным уровням.

Линейное преобразование, приводящее к стандартному нормальному распределению, невозможно выполнить, так как σ неизвестно. Естественно заменить неизвестную дисперсию на выборочную дисперсию:

s²=1/n-1Ʃ(xi-xcp)², которая яв-ся несмещенной оценкой дисперсии σ², и рассмотреть случ величину:

t=(xcp-μ)/(s/√n). В отличие от z эта величина t представляет собой отn-1ношение 2х случ величин и не яв-ся результатом линейного преобразования и поэтому не распределена по нормальному закону. Можно показать, что она имеет распределение Стьдента с степенями свободы: t~t_[n-1]. По таблице распределения Стьюдента для выбранного уровня δ найдем критическое значение t-статистики tc, такое что Prob{-tc ≤ t ≤ tc}=1-δ, t~t_[n-1].

Критическое значение t-статистики обозначается также через t_δ/2,n-1. Подставляя выражение для t в неравенства выполняя преобразования аналогичные выполненным для случая с известной дисперсией, получим:

Prob{xcp-t_cs/√n≤μ≤xcp+ t_cs/√n }=1-δ

Следовательно, в случае с неизвестной дисперсией [xcp- t_cs/√n, xcp+t_cs/√n] есть доверительный интервал для нормального распределения.