Способы корректировки гетероскедастичности

Для модели с гетероскедастичностью оценка матрицы ковариаций коэффициентов, оцененных по методу наименьших квадратов, оказывается смещенной. Учесть влияние гетероскедастичности можно либо путем преобразования модели, либо с помощью поправок стандартных ошибок коэффициентов.

1)Метод взвешенных наименьших квадратов. Рассмотрим уравнение парной линейной регрессии

yi= a + β xi+ ei, i=1,2,...,n.

Допустим, для каждого наблюдения i стандартное отклонение si известно. Разделим обе части уравнения на si и запишем его в виде y῀i=yi/si+βxi/si+ei/si.

Если теперь перети к новым переменным .

То оно примет вид причем =E(ei/si)=1, i=1,2,…,n. Значит, в этой модели дисперсии ошибок постоянны, т.е. для нее емеет место гомоскедастичность.

Однако, обычно значение s i не известно. Заменой s i может служить величина, которая пропорциональна s i, например, s i =λxi, причем значение λ не требуется. Гетероскедастичность в этом случае устраняется путем деления обеих частей уравнения на xi.

2) Коррекция стандартных ошибок. Если тест Уайта отвергает нулевую гипотезу, он не дает каких-либо конструктивных способов преодоления гетероскедатичности. Но им было предложено поправить оценку V ˆ (βˆols)=e´e/n-k(X´X)‾ˡ. По этой формуле, например, пакет EVIEWS рассчитывает стандартные ошибки коэффициентов.

Обозначим i -ю строку матрицы Х через x´i= (xi1, xi2,…, xik). Для диагональной матрицы Ω показано, что

V ˆ(βˆols)=n(X´X)‾ˡ(1/n e²ixix´i) (X´X)‾ˡ является состоятельной оценкой ковариационной матрицы V (βˆols). Здесь xi=(x ´i)´ - i -я строка матрицы Х, записанная в виде столбца. Стандартные ошибки коэффициентов, вычисленные по этой формуле, называются стандартными ошибками в форме Уайта.

В более общем случае, когда ковариационная матрица содержит ненулевые элементы не только на главной диагонали, но и на соседних диагоналях, также предложена формула для скорректированной оценки ковариационной матрицы. Вычисляемые по ней стандартные ошибки носят название стандартных ошибок в форме Ньюи-Веста.