Оценка параметров уравнения множественной регрессии

Параметры ур-ия множ регрессии оцениваются МНК. При его применении строится система норм ур-ий, решение кот и позволяет получить оценки параметров регрессии.
∑(уi-ỷ)^2-min, ∑(уi-(а+в1х1+b2x2+…+bkxk))^2=мин. df/da=0, df/db1=0,…, df/dbk=0. Преобразуя ур-я получим систему нормальн ур-ний
1.an+b1∑x1+b2∑x2+…+bk∑xk=∑y
2.a∑x1+b1*∑x1^2+b2∑x 2*x1+…+bk∑x k*x1=∑y*x1.
…
k.a∑xk+b1∑x1*xk+b2∑x2*xk+…+bk∑xk^2=∑y*xk.
При записи системы норм ур-ий м/пользоваться след. правилом: 1ое ур-ие получается как ∑n ур-ий; 2ое и последующие – как ∑n ур-ий регрессии, все члены кот умножены для 2ого ур-ия на x1, для 3его – на х2 и т.д. Для решения воспользуемся методом определителя.

Построение уравнения регрессии в стандартизованном масштабе

Рассмотри построение ур-ия регрессии на примере лин 2хфактор модели: ỷ=a+b1x1+b2x2 – ур-ие регрессии в натур масштабе. Представим все переменные как центрированные и нормированные, т.е. выраженные как отклонение от ср.величины и деленное на стандарт. отклонение. Обозначим преобразован. т.о. переменные ч/з букву t:
t0=(yi-сред.y)\Gy; t1=(x1-сред.x1)\Gx1; t2=(x2-сред.x2)\Gx2.
t0=β1t1+β2t2 – стандартизов ур-ие множеств регрессии, где k-ты β1 и β2 – стандартиз k-ты регрессии. β1 и β2определяют, на какую часть своего СКО изменяется р-т при изменении ф-ра на одно СКО. Ур-ие не имеет св.члена, т.к. все переменные выражены ч\з отклонения ср.величины.
В отличие от k-тов в натурал масштабе (bi), кот нельзя сравнивать, стандартиз k-ты регрессии м\сравнивать и делать вывод о влиянии какого ф-ра на р-т более значителен.
β1 и β2 находятся с пом МНК: ∑(ti-t0)^2-min. Получим систему норм ур-ий:
1. β1∑t1^2+β2∑t2*t1=∑t0*t1. 2. β1∑t1*t2+β2∑t2^2=∑t0*t2. Поскольку k-т парной корреля: r м\у y и х1=1\n *∑t0t1
r м\у y и х2=1\n *∑t0t2
r м\у x1 и х2=1\n *∑t1t2
r м\у x1 и х1=1\n *∑t1^2=1
r м\у x2 и х2=1\n *∑t2^2=1
Получим систему: 1.β1+ β2*r м\у x2 и х1=r м\у y и х1. 2.β1* r м\у x1 и х2+ β2= r м\у y и х2.
β1>β2, то ф-р х1 сильнее влияет на р-т, чем ф-р х2. От стандартиз ур-ия регрессии м/перейти к ур-ию регрессии в натур масштабе: b1= β1*Gy/Gx1, bi=βi*Gy/Gxi.

Абсолютные и относительные показатели силы связи в модели множественной регрессии

Показатели силы связи исп-ся для колич оценки влияния факторов на рез-т. В лин.ф-ции коэф регрессии выступает абсолютн показателем силы связи. Каждый из k-тов регрессии показывает, насколько в сред изменится рез-т(y) при изменен ф-ра (xi) на ед-цу измерения и закреплении прочих введенных в ур-ие объясняющих переменных на их сред ур-не. Влияние отд. ф-ров в ур-ии регрессии м/определить с пом частн k-тов Э: Эxj=bj*xj/ỷ(индекс:xj∙x1x2…xj-1xj+1…xk) – значение результат признака для ф-ра xj при закреплении ост ф-ров на их среднем уровне. В случае 2хфактор лин регрессии использ средн k-т Э: ср.Эx1=b1*ср.x1/ср.y, ср.Эx2=b2*ср.x2/ср.y