Нормальная линейная модель множественной регрессии

Естественным обобщением линейной регрессии с двумя переменными является многомерная регрессионная модель (multiple regression model) или модель множественной регрессии:

где у_i – значение признака-результата (зависимой переменной) для i -го наблюдения;

х_ji – значение j -го фактора (независимей или объясняющей переменной) (j = 1;т) для i -го наблюдения;

и_г – случайная составляющая результативного признака для i -го наблюдения;

b_о – свободный член, который формально показывает среднее значение у при х₁ = х₂ =... = х_т = 0;

b_j – коэффициент «чистой» регрессии при j-m факторе (j=1,m). Он характеризует среднее изменение признака-результата у с изменением соответствующего фактора х_j. на единицу, при условии, что прочие факторы модели не изменяются и фиксированы на средних уровнях.

Обычно для многомерной регрессионной модели делаются следующие предпосылки.

1. – детерминированные (нестохастические) переменные.

2. , (i = 1, n) – математическое ожидание случайной составляющей равно 0 в любом наблюдении.

3. , (i = 1, n) – теоретическая дисперсия случайной составляющей; постоянна для всех наблюдений.

4. – отсутствие систематической связи между значениями случайной составляющей в любых двух наблюдениях.

5. Часто добавляется условие: , т. е. – нормально распределенная случайная величина.

Модель линейной множественной регрессии, для которой выполняются данные предпосылки, называется нормальной линейной регрессионной (Classical Normal Regression model).

В матричной форме нормальная (классическая) регрессионная, модель имеет вид:

,

где Y – случайный вектор-столбец размерности (n ´1) наблюдаемых значений результативного признака;

X – матрица размерности (n ´(m +1)) наблюдаемых значений факторных признаков. Добавление 1 к общему числу факторов т учитывает свободный член b₀ в уравнении регрессии. Значения фактора х₀ для свободного члена принято считать равным единице;

b – вектор-столбец размерности ((т +1)´1) неизвестных, подлежащих оценке параметров модели (коэффициентов регрессии);

и – случайный вектор-столбец размерности (n´1) ошибок наблюдений.

Предпосылки данной модели:

1) – детерминированные (нестохастические) переменные, т. е. ранг матрицы X равен т+1<n;

2) ;

3,4) ковариационная матрица должна иметь вид:

,

где – дисперсия случайной составляющей;

I – единичная матрица размером п´п;

5) .

Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям.

1. Они должны быть количественно измеримы. Если не обходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то ему нужно придать количественную определенность (например, в модели урожайности качество почвы задается в виде баллов).

2. Каждый фактор должен быть достаточно тесно связан с результатом (т. е. коэффициент парной линейной корреляции между фактором и результатом должен существенно отличаться от нуля).

3. Факторы не должны сильно коррелировать друг с другом, тем более находиться в строгой функциональной связи (т. е. они не должны быть интеркоррелированны).

2.1.2. Традиционный метод наименьших квадратов
для многомерной регрессии (OLS)

Основная задача регрессионного анализа заключается в нахождении по выборке объемом n оценки неизвестных коэффициентов регрессии модели или вектора .

Оценка параметров многомерной модели, как и в случае парной регрессии, осуществляется обычно традиционным методом наименьших квадратов (МНК). Согласно данному методу, в качестве оценки вектора принимают вектор , который минимизирует сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений y_i от рассчитанных по модели .

В матричной форме функционал S будет записан так:

МНК-оценки в матричной форме находят по формулам:

, где .

Оценим с помощью МНК параметры линейной двухфакторной модели: , i=1; n. Для этого минимизируем функционал:

Функционал S является функцией трех переменных . Чтобы найти экстремум функции нескольких переменных, нужно взять ее частные производные по этим переменным и приравнять их нулю:

, , .

Получим следующую систему нормальных линейных уравнений:

Параметры этой системы могут быть найдены, например, методом К. Гаусса, либо методом итераций.

Рассмотрим пример. Для данных табл. 2.1 найдем МНК-оценки параметров линейного двухфакторного уравнения регрессии: .

Расчет необходимых сумм для системы нормальных линейных уравнений сведем в табл. 2.1.

Таблица 2.1

i	у – заработная плата, $	х1 –возраст, лёт	х2 – выработка, шт./смену	yx1	yx2	x12	x22	x1x2

Тогда система нормальных линейных уравнений будет иметь вид:

Решив систему, найдем значения :

; ; .

Найдем МНК-оценки для нашего примера матричным способом.

Воспользовавшись правилами умножения матриц будем иметь:

Х^ТХ=

.

Х^ТХ=

Найдем обратную матрицу.

Матрицей, обратной к матрице А, называется матрица А^-1 такая, что АА^-1 =I (I – единичная матрица).

Обозначим a_ij элементы матрицы А^-1. Тогда , где M_ij – матрица, получающаяся из А вычеркиванием i -й строки и j -го столбца. Для нашего примера:

;

;

и т.д.

В результате получим:

Тогда вектор оценок коэффициентов регрессии равен:

То есть ; ; (оценки такие же, что и найденные 1-м способом).

Кроме того, для линейной множественной регрессии существует другой способ оценки параметров – через -коэффициенты (параметры уравнения регрессии в стандартных масштабах).

При построении уравнения регрессии в стандартном масштабе все значения исследуемых признаков переводятся в стандарты (стандартизованные значения) по формулам:

, j=1;m,

где x_ji – значение переменной х_j в i -м наблюдении.

.

Таким образом, начало отсчета каждой стандартизованной переменной совмещается с ее средним значением, а в качестве единицы изменения принимается ее среднее квадратическое отклонение (). Если связь между переменными в естественном масштабе линейная, то изменение начала отсчета и единицы измерения этого свойства не нарушат, так что и стандартизованные переменные будут связаны линейным соотношением:

.

-коэффициенты могут быть оценены с помощью обычного МНК.

При этом система нормальных уравнений будет иметь вид:

(так как ).

Найденные из данной системы -коэффициенты позволяют определить значения коэффициентов регрессии в естественном масштабе по формулам:

, j=1;m; .

Найдем -коэффициенты для нашего примера. Система нормальных линейных уравнений будет иметь вид (воспользуемся данными корреляционной матрицы, рассчитанной в предыдущем вопросе):

Тогда ₁ = 0,60166, ₂ = 0,408476.

Отсюда . ;

;

Оцененное уравнение регрессии для нашего примера будет иметь вид: .

Дадим интерпретацию параметров данного уравнения.

Параметр =–5,099019 показывает, что заработная плата рабочего в среднем увеличивается на 5$ при увеличении возраста рабочего на 1 год при условии, что выработка рабочего не меняется и фиксирована на среднем уровне; параметр =8,076387 показывает, что заработная плата рабочего в среднем увеличивается на 8$ при увеличении выработки рабочего за смену на 1 штуку при условии, что возраст рабочего не изменился и фиксирован на среднем уровне.

Параметр мы не интерпретируем, т. к. в выборке отсутствуют значения признаков x₁ и x₂, близкие к нулю.

2.1.3. Показатели тесноты связи фактора с результатом. Коэффициенты частной эластичности и стандартизированные коэффициенты регрессии ( – коэффициенты)

Если факторные признаки различны по своей сущности и/или имеют различные единицы измерения, то коэффициенты регрессии уравнения: являются несопоставимыми. Поэтому уравнение регрессии дополняют соизмеримыми показателями тесноты связи фактора с результатом, позволяющими ранжировать факторы по силе влияния на результат. К таким показателям тесноты связи относят: частные коэффициенты эластичности, -коэффициенты и другие.

Частные коэффициенты эластичности рассчитываются по формуле:

,

где – среднее значение фактора x_j;

– среднее значение результата у.

Частный коэффициент эластичности показывает, насколько процентов в среднем изменяется признак-результат у с увеличением признака-фактора х_j на 1 % от своего среднего уровня при фиксированном положении других факторов модели. В случае линейной зависимости рассчитываются по формуле:

,

где – коэффициент регрессии при j -м факторе.

Стандартизированные частные коэффициенты регрессии -коэффициенты () показывают, на какую часть своего среднего квадратического отклонения изменится признак-результат у с увеличением соответствующего фактора х_j на величину своего среднего квадратического отклонения () при неизменном влиянии прочих факторов модели.

Частные коэффициенты эластичности и стандартизованные частные коэффициенты регрессии можно использовать для ранжирования факторов по силе влияния на результат. Чем больше величина или , тем сильнее влияет фактор х_j на результат у.

Пример. Рассмотрим ранжирование факторов на примере. Исходные данные были приведены в табл. 2.1. Воспользуемся результатами оценивания регрессии заработной платы рабочих у по возрасту x₁ и выработке х₂:

(2.1)

(см. п. 2.1.2).

Частный коэффициент эластичности для фактора «возраст» будет равен: .

Частный коэффициент эластичности для фактора «выработка» равен: . Так как Э₁ > Э₂, то фактор «возраст» сильнее влияет на заработную плату рабочего (т. е. вызывает более существенное изменение заработной платы), чем фактор «выработка».

-коэффициенты для данного примера были рассчитаны в п. 2.1.2 и составили, соответственно, для фактора«возраст», (x₁): ₁ = 0,60166, для фактора «выработка» (х₂): ₂ = 0,408476. Так как ₁, > ₂, то фактор «возраст» сильнее влияет на заработную плату рабочего (т. е. вызывает более существенное изменение заработной платы), чем фактор«выработка».

По коэффициентам эластичности и
-коэффициентам могут быть сделаны противоположные выводы. Причины этого: а) вариация одного фактора очень велика; б) разнонаправленное воздействие факторов на результат.

Коэффициент может также интерпретироваться как показатель прямого (непосредственного) влияния j -го фактора х_j на результат у. Во множественной регрессии j -й фактор оказывает не только прямое, но и косвенное (опосредованное) влияние на результат (т. е. влияет на результат через другие факторы модели). Косвенное влияние измеряется величиной: , где m – число факторов в модели. Полное влияние j -го фактора на результат, равное сумме прямого и косвенного влияний, измеряет коэффициент линейной парной корреляции данного фактора и результата – .

Так для нашего примера непосредственное влияние фактора «возраст» на результат «заработную плату» в уравнении регрессии (2.1) измеряется ₁ и составляет 0,60166; косвенное (опосредованное) влияние данного фактора на результат определяется как: .

Непосредственное влияние фактора «выработка» на результат «заработная плата» в уравнении регрессии (3) измеряется ₂ и составляет 0,408476. Косвенное влияние данного фактора на результат определяется как: .