Коэффициенты множественной детерминации и корреляции Скорректированный коэффициент множественной детерминации

Коэффициенты множественной детерминации и корреляции характеризуют совместное влияние всех факторов на результат.

По аналогии с парной регрессией можно определить долю дисперсии результата, объясненной вариацией включенных в модель факторов (), в его общей дисперсии (). Ее количественная характеристика — теоретический множественный коэффициент детерминации ().

Для линейного уравнения регрессии данный показатель может быть рассчитан через ( -коэффициенты:

.

– коэффициент множественной корреляции. Он принимает значения от 0 до 1 (в отличие от парного коэффициента корреляции, который может принимать отрицательные значения). Поэтому R не может быть использован для интерпретации направления связи. Чем плотнее фактические значения у_i располагаются относительно теоретической линии регрессии, тем меньше остаточная дисперсия и, следовательно, больше величина .Таким образом, при значении R, близком к 1, уравнение регрессии лучше описывает фактические данные, и факторы сильнее влияют на результат. При значении R, близком к 0, уравнение регрессии плохо описывает фактические данные, и факторы оказывают слабое воздействие на результат.

Важное свойство коэффициента детерминации состоит в том, что это неубывающая функция от числа факторов, т.е. включение в модель любого дополнительного фактора х_т+1 не приведет к снижению коэффициента детерминации: .

Рассмотрим подробнее формулу расчета коэффициента детерминации через необъясненную дисперсию:

.

Знаменатель в данной формуле от числа факторов не зависит. А числитель снижается с введением в модель дополнительного фактора. Поэтому при сравнении двух моделей иногда не совсем ясно, за счет чего возрос показатель R²: за счет реального влияния дополнительного фактора на результат, либо просто ввиду увеличения числа факторов.

Для того чтобы значения R² были сравнимы по разным моделям, необходимо учесть число независимых переменных в модели. Это можно сделать, если определить коэффициент детерминации не через суммы квадратов, а через дисперсии на 1 степень свободы. В результате получим скорректированный коэффициент детерминации — :

,

где h – общее число параметров в уравнении регрессии;

п – число наблюдений.

Если п велико, то R² и , будут незначительно отличаться.

Рассмотрим пример. Пусть по данным о 20 рабочих оценена регрессия заработной платы рабочего по возрасту (x₁) и выработке (х₂):

.

Оценим качество данного уравнения регрессии, т.е. рассчитаем коэффициент множественной детерминации:

=0,60166·0,85305+0,408476·0,778766=0,831356

(расчет и см. в п. 2.1.2, расчет r_yx1 и r_yx2 – в п. 2.2.1).

Это значит, что 83,14 % вариации заработной платы рабочего определяется уравнением регрессии, а, следовательно, и факторами: «возраст» и «выработка».

Значение коэффициента множественной корреляции близко к единице, что свидетельствует об очень тесной зависимости между факторами и результатом.

Сравним результаты оценки двухфакторной регрессии с однофакторной регрессией заработной платы рабочего по возрасту рабочего х. Оцененное уравнение однофакторной регрессии: (см. п. 1.2.1), коэффициент детерминации . Коэффициент детерминации в однофакторной регрессии меньше, чем в двухфакторной.

Чтобы определить, какое уравнение регрессии лучше, рассчитаем скорректированные коэффициенты детерминации:

· для однофакторной регрессии:
;

· для двухфакторной регрессии:

Так как скорректированный коэффициент детерминации для двухфакторной модели больше, чем для однофакторной, делаем вывод, что двухфакторная модель регрессии предпочтительнее. Улучшение качества уравнения регрессии при введении дополнительного фактора (х₂ — выработка за смену) существенно.