Оценивание параметров моделей с геометрической структурой лага. Метод Койка

Метод Койка обычно применяют, если в моделях с распределенным лагом величина максимального лага L бесконечна. При этом используют допущение о геометрической структуре лага, т.е. воздействие лаговых значений фактора на результат уменьшается с увеличением величины лага в геометрической прогрессии. Если имеется одна объясняющая переменная, то модель имеет вид:

(3.3)
где

В данной зависимости всего три параметра: а, b₀ и l. Для их оценивания нельзя применять обычный МНК, так как:

1) возникает проблема мультиколлинеарности;

2) из полученных МНК-оценок не удалось бы вывести значения b₀ и l. Здесь можно получить одно значение оценки b₀ с помощью коэффициента при x_t, и совершенно другое, возведя в квадрат коэффициент при x_t-1 и разделив его на коэффициент при x_t-2.

Для оценки параметров а, b₀ и l можно использовать два метода: нелинейный МНК либо преобразование Койка.

Суть нелинейного МНК. Задаем для lзначения в пределах от 0 до 1 с шагом, например, 0,01 (чем меньше шаг, тем более точным будет результат).

Для каждого значения lрассчитывается переменная:

с таким значением L, при котором дальнейшие лаговые значения х не оказывают существенного воздействия на z.

С помощью обычного МНК оценивается уравнение регрессии:

(3.4)

и определяется теоретический коэффициент детерминации R ².

Такие расчеты проделывают для всех .

В качестве окончательных оценок а, b₀ и l выбирают те, которые обеспечивают наибольшее значение R ²для уравнения (3.4).

Суть метода Койка (преобразование Койка). Если выражение (3.3) выполняется для периода t, то оно должно выполняться и для периода (t – 1):

Умножив обе части этого уравнения на lи вычтя их из уравнения (3.3), получим:

или

.

Полученная модель относится к моделям авторегрессии.

Эта форма позволяет анализировать краткосрочные и долгосрочные динамические свойства модели.

В краткосрочном аспекте (в текущем периоде) значение у_t-1 нужно рассматривать как фиксированное. Воздействие х на у характеризует коэффициент b₀.

В долгосрочном периоде (без учета случайной составляющей) если х_t стремится к некоторому равновесному значению , то у_t и у_t-1, будут также стремиться к равновесному уровню , определяемому как:

,

из которого следует: .

Таким образом, долгосрочное воздействие х на у отражается коэффициентом . Если , то этот коэффициент превысит b₀, т.е. долгосрочное воздействие оказывается сильнее краткосрочного.

Модель преобразования Койка привлекательна с практической точки зрения, т.к. оценивание парной регрессии с помощью МНК позволяет получить оценки а, b₀ и l. Метод Койка требует гораздо меньших усилий при оценивании параметров, чем нелинейный МНК. Однако применение данного метода сопряжено с серьезной эконометрической проблемой – нарушением 1-го условия нормальной линей ной модели регрессии: объясняющая переменная у_t-1 частично зависит от u_t-1 и поэтому коррелирует с одной из случайных составляющих . В итоге оценки, полученные с помощью МНК, оказываются смещенными и несостоятельными.

3.7. Оценивание параметров моделей авторегрессии.
Метод инструментальных переменных

При построении моделей авторегрессии:

(3.5)

возникает проблема: нарушается 1-я предпосылка нормальной линейной модели регрессии об отсутствии связи между факторным признаком и случайной составляющей. В модели авторегрессии факторный признак у_t-1 связан со случайной составляющей u_t-1. Поэтому применение обычного МНК для оценки параметров уравнения регрессии приводит к получению смещенной оценки параметра при переменной у_t-1.

Для оценивания параметров уравнения регрессии может быть использован метод инструментальных переменных.

Суть метода инструментальных переменных состоит в следующем.

Переменную у_t-1 из правой части уравнения, для которой нарушается предпосылка МНК, заменяют на новую переменную, удовлетворяющую следующим требованиям:

1) она должна тесно коррелировать с у_t-1;

2) она не должна коррелировать со случайной составляющей и_t.

Затем оценивают регрессию с новой инструментальной переменной с помощью обычного МНК.

Рассмотрим один из методов получения инструментальной переменной.

Так как у_t зависит от х_t, предположим, что имеет место зависимость у_t-1 от x_t-1, т. е. .

Оценка может быть найдена с помощью обычного МНК.

Новая переменная тесно коррелирует с у_t-1 и не коррелирует со случайной составляющей и_t, т. е. может служить инструментальной переменной для фактора у_t-1.

В результате модель авторегрессии примет вид:

(3.6)

.

Оценки параметров данной модели находят обычным МНК. Полученные оценки являются искомыми оценками модели авторегрёссии (3.5).

Отметим, что практическая реализация метода инструментальных переменных осложняется появлением проблемы мультиколлинеарности факторов в модели: функциональная связь между и x_t-1 () приводит к появлению высокой корреляционной связи между и х_t В некоторых случаях эту проблему можно решить включением в модель (3.6) фактора времени t.