Предсказание среднего значения

Пусть построено уравнение парной регрессии . На основе построенной модели рассчитываются точечные и интервальные прогнозы. Точечный прогноз при получается путем подстановки значения в уравнение регрессии:

. (1.3.1)

является точечной оценкой условного математического ожидания (среднего значения) переменной при . Чтобы измерить точность полученной оценки и построить доверительный интервал для среднего значения, необходимо найти дисперсию точечной оценки , по которой формируется интервальная оценка.

Воспользуемся уравнением регрессии (1.1.18):

. (1.3.2)

Дисперсия оценки равна сумме дисперсий для независимых слагаемых выражения (1.3.2)

. (1.3.3)

Подставляя в (1.3.3) дисперсию коэффициента регрессии (1.1.21) и дисперсию выборочной средней

получим

. (1.3.4)

Из формулы видно, что дисперсия предсказания убывает с ростом объема выборки n и она тем больше, чем больше отклоняется от выборочного среднего .

Заменяя в выражении (1.3.4) неизвестное значение дисперсии на ее оценку , можно записать формулу для выборочной дисперсии оценки среднего значения в точке

. (1.3.5)

Если предпосылки (1.1.5)-(1.1.8) верны, то можно показать, что статистика имеет распределение Стьюдента с (n- 2 ) степенями свободы. Используя стандартную процедуру, рассмотренную выше, получим доверительный интервал для функции регрессии