Группа 2. Аксиомы порядка

Аксиомы этой группы определяют линейный порядок точек на прямой и понятие полуплоскости относительно прямой на плоскости. Первая аксиома содержит два требования.

9. Если А,В,С - три точки инцидентные прямой, и точка В лежит между точками А, С, то: а) точки А,В,С различны; б) точка В лежит между точками С, A.

10. Для любых двух точек А, В, инцидентных прямой а, существует точка С прямой а такая, что точка В лежит между точками А и С.

11. Для трех различных точек, инцидентных прямой, существуют не более одной из них, которая лежит между двумя оставшимися.

Для формулировки следующей аксиомы требуется дать некоторые определения, являющиеся логическими следствиями уже сформулированных аксиом 1-11.

Определение.

Две точки на прямой А и В определяют отрезок.

Следствие.

Согласно аксиомам 9-11 на этой прямой существуют точки, внешние и внутренние по отношению к отрезку АВ.

Определение.

Совокупность трех точек А, В, С, не инцидентных одной прямой, и трех отрезков АВ, АС и ВС называется треугольником.

Аксиома Паша.

12. Пусть задан треугольник АВС и в его плоскости прямая а, не проходящая через А, B, C. Если прямая а пересекает одну сторону АС треугольника, то она пересекает по крайней мере еще одну сторону.

Вот типичная теорема этой группы аксиом.