Аксиоматика Д. Гильберта(1862-1943)

Появилась в 1899г. и с небольшими изменениями считается одним из современных аксиоматических обоснований евклидовой геометрии. Вся система аксиом состоит из 20 аксиом и содержит 26 требований, которые описывают 5 видов отношений между тремя геометрическими объектами - точками, прямыми и плоскостями. Отметим, что эти геометрические объекты - точки, прямые и плоскости никак не определяются, рассматриваются как первичные понятия, суть которых раскрывается через описываемые отношения. По типам отношений аксиомы образуют 5 групп и формируются следующим образом:

Группа 1. Аксиомы соединения.

Эта группа аксиом описывает отношения инцидентности (связи и принадлежности) между точками, прямыми и плоскостям.

1. Для любых двух различных точек существует прямая, инцидентная этим точкам.

2. Для любых двух различных точек существует не более одной прямой инцидентной этим точкам.

3. Для каждой прямой существуют, по крайней мере, две точки, ей инцидентные. Существуют три точки, не инцидентные одной прямой.

4. Для любых трех точек, не инцидентных прямой, для каждой плоскости существует, по крайней мере, одна точка, ей инцидентная.

5. Для трех различных точек, не инцидентных прямой, существует не более одной плоскости, инцидентной этим точкам.

6. Если две точки прямой инцидентны плоскости, то каждая точка этой прямой инцидентна плоскости (т.е. вся прямая инцидентна плоскости).

7. Если две плоскости имеют точку им инцидентную, то существует, по крайней мере, еще одна точка, им инцидентная.

8. Существуют четыре точки, не инцидентные одной плоскости.

Заметим, что аксиомы 3 и 4 содержат по два требования. Приведем примеры типичных утверждений, доказываемых в группе 1.

Теорема 1.

Две различные точки определяют одну и только одну прямую им инцидентную.

Теорема 2.

Три точки, не инцидентные одной прямой определяют одну и только одну плоскость им инцидентную.

Теорема 3.

Прямая и не инцидента ей точка определяют одну и только одну плоскость, им инцидентную.

И так далее.