Теорема 4

Отрезок АВ имеет бесконечное множество внутренних точек (т.е. точек, лежащих между А и В).

Схема доказательства.

(1) существует т. С, не принадлежащая прямой АВ, (акс.3), рис.1;

(2) существует т. D на прямой АС и т. C лежит между А и D;

(3) существует прямая ВD, (акс.1-2) и существует т. Е и D лежит между В и Е;

(4) прямая ЕС по аксиоме Паша имеет общую с АВ точку F1 (иначе ЕС совпадет с ЕD).

(5) аналогично доказывается, что на АF1существует еще одна точка F2, и т.д.

Теорема доказана.

Примечательно то, что для доказательства существования внутренних точек отрезка приходится “выходить” на плоскость. Далее можно определить понятия луча, полуплоскости, угла, многоугольника и т.д.