Два недостатка аксиоматики Д. Гильберта

Огромное значение аксиоматики Д. Гильберта для всей математики, и геометрии в частности, неоспоримо и продолжает исследоваться до сих пор. А о той роли, которую сыграли выделенные ниже два «недостатка» упоминается не часто.

Первым недостатком является «язык» аксиоматики. Дело в том, что часть формулируемых аксиом содержит понятия, обоснование которых проводится на уровне теорем существования, доказываемых из предыдущих аксиом. Например, формулировка аксиомы Паша требует понятия отрезка и существования его внутренних точек (последнее приходится доказывать, см. теорему 4 в группе II Аксиом порядка). Далее, требование откладывания конгруэнтного угла с заданной стороны прямой в аксиоме 16, требует же доказательства существования двух сторон, на которые всякая прямая разбивает плоскость. Есть еще ряд замечаний, которые, вместе с отмеченными выше двумя, приводят к вопросам о взаимной совместимости и зависимости аксиоматических требований и критериях проверки этих свойств.

Второй «недостаток» состоит в том, что описание отношений между основными геометрическими объектами - точками, прямыми и плоскостями, приведенное в аксиоматике Д. Гилберта, не может быть индуктивно перенесено на «мыслимые» свойства «мыслимых» же геометрических объектов размерности большее трех. Необходимость построения многомерной геометрии была продиктована задачами аналитической механики систем n-точек уже в XIX веке. В XX веке модель многомерной геометрии возникла в экономических задачах линейного программирования и других задачах естествознания и социальной практики человека.

Для аксиоматического построения многомерной евклидовой геометрии потребовалось переосмыслить процесс арифметизации (введения координат) трехмерного евклидова пространства, связать этот процесс со структурой n-мерного векторного пространства. Начнем с изучения структуры векторного пространства на множестве обыкновенных направленных отрезков.

Структура векторного пространства.