Понятие отношений между объектами

Принято считать, что всякое отношение выражает связи между объектами или, что то же, элементами x, y, …, некоторых множеств A'x, B'y, …. Отношения между двумя элементами xÎA и yÎB называют двухместными или бинарными отношениями. Все такие отношения будем обозначать Ð(x,y), xÎA, yÎB. Отношение Ð (x,y) можно представлять разными способами: описывать словами, изображать чертежами и задавать формулами. Удобным является «язык» множеств. Всякое отношение Ð(x,y) определяет множество p(x,y) упорядоченных пар (x,y) некоторых элементов xÎA и yÎB по следующему правилу:

(x,y) Îp Û {выполняется Ð (x,y)} (1)

Множество упорядоченных пар (x,y) "xÎA и "yÎB называется декартовым произведением множеств A и B и обозначается A´B.

Следствие 1.

Всякое бинарное или двухместное отношение Ð(x,y) между элементами x, y двух множеств A'x и B'y представляется некоторым подмножеством P(x,y)ÌA´B по закону (1). Обратно, всякое подмножество PÌ A´B по этому же закону (1) представляет некоторое отношение Ð(x,y).

Пример 1.

Пусть A=B=R - множество действительных чисел. Тогда R´R есть декартово произведение евклидовых прямых. Это произведение представляет собой арифметическую модель евклидовой плоскости. (Другими словами, множество числовых упорядоченных пар (x,y), "xÎR, "yÎR представляет все точки евклидовой плоскости.)