Понятие математической структуры

Все рассмотренные в главе I системы аксиом:

Пеано для натуральных чисел;

Аксиоматика действительных чисел;

Аксиоматика векторных пространств

Аксиоматика Гильберта евклидовой геометрии;

Аксиоматика Вейля арифметического евклидова пространства

можно характеризовать как системы утверждений T={T₁, …,T_n}, задающих системы отношений Ð={ Ð₁, …, Ð_p} между элементами некоторых множеств M₁, …, M_p.

Например, 20 аксиом Гильберта T={T₁, T₂ …,T₂₀} описывают отношения: Ð₁ инцидентности, Ð₂ порядка, Ð₃ конгруэнтности, Ð₄ отношения, определяющие свойства непрерывности, Ð₅ отношение параллельности. Каждое из этих отношений определено на некоторых из множеств: M₁ - множество точек, M₂ - множество прямых, M₃ - множество плоскостей, M₄ - множество отрезков, M₅ - множество углов, M₆ - множество натуральных чисел. При этом, множества объектов M₁, M₂, M₃ остаются основными, а множества M₄, M₅, M₆ - вспомогательными.

Аналогичным образом, в остальных системах аксиом можно выделить все три указанных понятия: T={T₁, …,T_n} - собственно систему аксиом (систему утверждений), Ð ={ Ð₁, …, Ð_p} - систему отношений и {M₁, …, M_m}=M – систему базовых множеств. Эти понятия вступают в новое отношение, называемое математической структурой.