Следствие 1

В плоскости L₂ через точку A вне прямой a проходит бесконечное множество прямых, не имеющих общих точек с a (расходящихся с a). При этом существует в точности две параллельные g₁ и g₂, имеющие общие точки с a на абсолюте l:

A_¥ = g₁ Ç aÎ l, A_¥ = g₂ Ç aÎ l,

Вывод.

В модели L₂ выполняются 15 аксиом планиметрии Лобачевского.

5.2 Основные факты в планиметрии Лобачевского.

Принятие столь экзотической аксиомы параллельности V' позволяет «обнаружить» (точнее, строго доказать) на плоскости L₂ неевклидовы «эффекты», т.е. такие отношения между геометрическими объектами, которые не реализуются в евклидовой плоскости.

Ограничимся иллюстрацией ряда свойств взаимного расположения прямых на плоскости L₂. Строгое доказательство этих фактов можно найти, например, в [7].

1. Сумма углов многоугольника в плоскости L₂.

Рассмотрим треугольник, рис. 4(а) с вершинами, лежащими на абсолюте. Т.к., по определению абсолюта вершины, А₁,А₂,А₃ - бесконечно удалены, то этот треугольник образован тремя сторонами А₁А₂, А₁А₃ и А₂А₃ бесконечной длины. Т.к. в вершинах А₁, А₂ и А₃ окружности касаются друг друга, то представляемые ими «прямые» А₁А₂, А₁А₃ и А₂А₃ образуют нулевые углы между собой. Аналогично, на рис. 4(b) представлен n-угольник с бесконечно длинными сторонами и суммой углов, равной нулю.

Если внутренние окружности на рис. 4(a) и (b) взять чуть большего радиуса, то точки А₁А₂…А_n попадут в плоскость L₂ (не будут лежать на абсолюте), перестанут считаться бесконечно удаленными. Тогда длины сторон многоугольника станут конечными, а сумма углов многоугольника станет несколько больше нуля. С другой стороны, если треугольник образован «малыми» кусками дуг окружностей, рис.4(с), то сумма его углов приближается к 180°, но остается все же несколько меньше 180°.

Следствие 2.

В плоскости Лобачевского L₂ сумма углов треугольника не постоянна и может принимать любое значение больше нуля и меньше p.

2. Взаимное расположение прямых в плоскости L₂.

Всякие две прямые в плоскости L₂ либо пересекаются, либо параллельны, либо являются расходящимися, т.е. не параллельны и не пересекаются, рис. 3.