Анализ аддитивной модели

Для аддитивной модели фактическое значение A = трендовое зна­чение T + сезонная вариация S + ошибка Е.

Пример 5. В таблице указан объем продаж (тыс. руб.) за послед­ние 11 кварталов. Дадим на основании этих данных прогноз объема продаж на следующие два квартала.

Квартал
Объем продаж

На первом шаге нужно исключить влияние сезонной вариации. Воспользуемся методом скользящей средней. Заполним таблицу.

Номер квартала	Объем продаж	Скользящая средняя за 4 квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной вариации
		4,75	5,5	-1,5
		6,25	6,5	-1,5
		6,75	7,125	2,875
		7,5
		8,5	8,75	-1,75
			9,75	-0,75
		10,5	11,5	0,5
		12,5

1 год = 4 квартала. Поэтому найдем среднее значение объема про­даж за 4 последовательных квартала. Для этого нужно сложить 4 по­следовательных числа из 2-го столбца, эту сумму разделить на 4 (количество слагаемых) и результат записать в 3-й столбец напротив третьего слагаемого.

(4 + 6 + 4 + 5)/4 = 4,75 (пишем напротив 4).

(6 + 4 + 5 + 10)/4 = 6,25 (пишем напротив 5). И т. д.

Полусумму двух соседних чисел из 3-го столбца запишем в 4-й столбец напротив верхнего из них. Если при заполнении 3-го столбца скользящая средняя вычислялась для нечетного числа се­зонов, то результат записывается напротив среднего слагаемого и данные не надо центрировать (то есть не надо заполнять 4-й стол­бец). 5-й столбец – это разность 2-го и 4-го столбцов (2-го и 3-го столбцов, если скользящая средняя вычислялась для нечетного числа сезонов).

Заполним следующую таблицу. Оценки сезонной вариации запи­шем под соответствующим номером квартала в году. В каждом столбце вычисляем среднее = (сумма чисел в столбце)/(количество чисел в столбце). Результат пишем в строке «Среднее» (округления до одной цифры после запятой). Сумма чисел в строке «Среднее» равна – 1.

Скорректируем значения в строке «Среднее», чтобы общая сумма была равна 0. Это необходимо, чтобы усреднить значения сезонной вариации в целом за год.

Корректирующий фактор вычисляется следующим образом: сум­ма оценок сезонных вариаций (– 1) делится на число кварталов в году (4). Поэтому из каждого числа этой строки нужно вычесть – 1/4 = – 0,25. Так как у нас округления до одной цифры после запятой, то из нечетных столбцов вычтем – 0,3, а из четных столбцов вычтем – 0,2.

	Номер квартала в году
			-1,5	-1,5
	2,875		-1,75	-0,75
	0,5				Сумма
Среднее	1,7	0,0	-1,6	-1,1	-1
Скорректированная сезонная вариация	2,0	0,2	-1,3	-0,9	0,0

В последней строке получены значения сезонной вариации для соответствующего квартала года.

Исключим сезонную вариацию из фактических данных. Прове­дем десезонализацию данных.

Номер квартала	Объем продаж A	Сезонная вариация S	Десезонализированный объем продаж A – S = T + E
			2
		0,2	5,8
		-1,3	5,3
		-0,9	5,9
		0,2	7,8
		-1,3	8,3
		-0,9	9,9
		0,2	13,8
		-1,3	16,3

Из чисел 2-го столбца вычитаем числа 3-го столбца и результат пишем в 4-м столбце.

Уравнение линии тренда T = a + bx.

Найдем коэффициенты a и b по данным первого и последнего столбцов.

Номер	x	y	x2	xy
		5,8		11,6
		5,3		15,9
		5,9		23,6
		7,8		46,8
		8,3		58,1
		9,9		79,2
		13,8
		16,3		179,3
Сумма		93,1		684,5

Замечание. Вместо вычислений коэффициентов a и b по форму­лам можно воспользоваться статистическими функциями ОТРЕ­ЗОК (изв_знач_ y; изв_знач_ x) и НАКЛОН (изв_знач_ у; изв_знач_ х) мастера функций f_x пакета Excel. Здесь изв_знач_ y и изв_знач_ x – это ссылки на ячейки, содержащие значения переменных y и x соот­ветственно.

Трендовое значение объема продаж = 1,9 + 1,1×(номер квартала). Теперь займемся расчетом ошибок.

Номер квартала	Объем продаж A	Десезонализирован-ный объем продаж A – S = T + E	Трендовое значение	Ошибка еt	| еt |	еt 2
		2		-1
		5,8	4,1	1,7	1,7	2,89
		5,3	5,2	0,1	0,1	0,01
		5,9	6,3	-0,4	0,4	0,16
			7,4	0,6	0,6	0,36
		7,8	8,5	-0,7	0,7	0,49
		8,3	9,6	-1,3	1,3	1,69
		9,9	10,7	-0,8	0,8	0,64
			11,8	-1,8	1,8	3,24
		13,8	12,9	0,9	0,9	0,81
		16,3		2,3	2,3	5,29
		Сумма	11,6	16,58

Из чисел 3-го столбца приводимой выше таблицы вычитаем числа 4-го столбца и результат пишем в 5-м столбце.

Среднее абсолютное отклонение MAD = ∑│e_t│/ n = 11,6/11 ≈ 1,1, среднеквадратическая ошибка MSE = ∑│e_t²│/ n = 16,58/11 ≈ 1,5. Мы ви­дим, что ошибки достаточно велики. Это скажется на качестве про­гноза.

Дадим прогноз объема продаж на следующие два квартала.

Мы считаем, что тенденция, выявленная по прошлым данным, сохранится и в ближайшем будущем. Подставляем номера кварталов в формулу и учитываем сезонную вариацию.

Прогноз объема продаж в 12-м квартале:

(1,9 + 1,1×12) + (–0,9) = 14,2 тыс. руб.

Прогноз объема продаж в 13-м квартале:

(1,9 + 1,1×13) + 2 = 18,2 тыс. руб.