Случайная переменная

Пусть q₁, q₂, …, q_n,– набор n чисел, формирующих множество X = { q₁, q₂, …, q_n }. Величина х называется переменной, а множество Х – множеством её возможных значений, или областью изменения, если х может принимать любые значения q_i из множества Х. Переменная величина, все возможные значения которой можно занумеровать, называется дискретной переменной. Если же возможные значения переменной х непрерывно заполняют собой некоторый интервал (a, b), то есть X = (a, b), то такая переменная величина называется непрерывной.

Переменная величина х с областью изменения Х называется случайной, если в результате некоторого опыта со случайными элементарными исходами она принимает значение из множества Х, которое заранее невозможно предсказать. Случайная величина может быть дискретной или непрерывной.

Теория вероятностей, математическая статистика и эконометрика базируются на предположении о существовании вероятности события

p: x = q_i

для дискретной случайной величины и

p: xÎ(q_i, q_i +Dq)

для непрерывной, то есть существует вероятность того, что значение х попадёт в интервал (q_i, q_i +Dq). Вероятность каждого элементарного исхода пропорциональна Dq.

Полной характеристикой случайной переменной х служит ее дифференциальный закон распределения. Так называется функция Р_х(q.) скалярного аргумента q, определенная на всей числовой прямой, характеризующая объективную возможность появления в опыте значений q случайной переменной х. Если х — дискретная случайная переменная, то

Следовательно, P_x(q_i) — это вероятность появления в опыте значения q_i случайной переменной x. Функция P_x(q_i) имену­ется вероятностной функцией (или функцией частот, распределением частот) дискрет­ной случайной переменной x. Не­редко эту функцию задают таблицей, именуемой таблицей рас­пределения. Значения функции P_x(q_i) неотрицательны и обладают следующим свойством:

Дифференциальный закон распределения P_x(q) непрерывной случайной переменной х, если этот закон существует, имеет более сложный смысл:

и называется плотностью вероятности. Как видите, это отношение вероятности попадания х в интервал Dq к величине этого интервала.Значения функции P_x(q) неотрицательны и обладают свойством

то есть какое-то значение переменная х примет.